دورة 2023 — الرياضيات

مباراة ولوج المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين لتوظيف أساتذة التعليم الثانوي من الدرجة الثانية – دورة 2023

الاختبار

الاختبار في مادة أو مواد التخصص

التخصص

الرياضيات

Si $((u_{n})_{n \geq 1})$ et $((v_{n})_{n \geq 1})$ sont deux suites adjacentes telles que

u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !},

alors :

lim_{n \to + \infty} v_{n} = ln 2

lim_{n \to + \infty} v_{n} = lim_{n \to + \infty} (u_{n} - \frac{n}{n + 1})

La suite

((v_{n})_{n \geq 1})

est croissante.

lim_{n \to + \infty} v_{n} = e

Soit $a \in N^{*}$ . En utilisant la décomposition de $561$ en produit de facteurs premiers, on montre que :

a^{561} \equiv a [561]

a^{561} \equiv a + 1 [561]

a^{561} \equiv a + 2 [561]

a^{561} \equiv a + 3 [561]

Soit $E$ un espace topologique muni de la topologie

T = {X \subset E : C_{E}^{X} est fini ou X = \emptyset} .

Si $E = R$ , alors :

\overline{N} = N

\overline{N} = Q

\overline{N} = Z

\overline{N} = R

Soit $A \in M_{n} (C)$ telle que

A^{3} = A^{2} .

Alors la matrice $e^{A}$ est égale à :

I_{n} + A + (e - 2) A^{2}

I_{n} + A + (e - 1) A^{2}

I_{n} + A + e A^{2}

I_{n} + A - e A^{2}

Si la série

f (z) = n \geq 1 \sum a_{n} z^{n}

converge en $z_{0} = 5$ et diverge en $z_{1} = 4 + 3 i$ , alors le rayon de convergence de la série est :

Soit

n \geq 0 \sum f_{n}

une série de fonctions définies sur un sous-ensemble $D$ de $R$ et à valeurs complexes.

On considère les propositions suivantes :

(A) : « $\sum_{n \geq 0} f_{n}$ converge simplement sur $D$ » ;

(B) : « $\sum_{n \geq 0} f_{n}$ converge uniformément sur $D$ » ;

Alors, on a les implications suivantes :

A \Rightarrow B \Rightarrow C

A \Rightarrow C \Rightarrow B

C \Rightarrow B \Rightarrow A

C \Rightarrow A \Rightarrow B

Soit $a \in R$ . La série

n \geq 0 \sum (\frac{n + a}{n + 2})^{n^{2}}

converge si :

a < 2

a > 2

a = 2

Pour tout

a \in R

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme discrète de paramètre $n$ .

Si la variance de $X$ est égale à $574$ , alors la valeur de $n$ est égale à :

Soient $f$ la fonction définie sur $R$ par

f (x) = e^{- x^{2}}

et $((u_{n})_{n \geq 0})$ la suite définie sur $N$ par

u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x .

Alors, on a :

\forall n \in N, u_{n} > 2

\forall n \in N, 0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{n + 1}

La suite

((u_{n})_{n \geq 0})

est croissante.

lim_{n \to + \infty} u_{n} = e^{- 1}

Q10

Si $A$ est une matrice trigonalisable de $M_{3} (R)$ , alors le polynôme caractéristique qui peut être associé à $A$ est :

(X - 1) (X^{2} + 1)

(X - 2) (X^{2} + X + 2)

(X + 1) (X - 3)^{2}

X (X^{2} + 2 X + 3)

Q11

On considère dans $Z$ le système suivant :

{x \equiv 11 [18], x \equiv 4 [15] .

Alors, l’ensemble des solutions du système est :

{7 + 3 k ∣ k \in Z}

{4 + 3 k ∣ k \in Z}

{11 + 3 k ∣ k \in Z}

\emptyset

Q12

La limite

n \to + \infty lim \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( 2 n )}{n}

est égale à :

e^{- 1}

2 e^{- 1}

3 e^{- 1}

4 e^{- 1}

Q13

Soit $E$ un $(R)$ -espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$ . Pour $a \in E$ donné, la solution de l’équation

x + p (x) = a

d’inconnue $x$ est :

a + \frac{p ( a )}{2}

- a - \frac{p ( a )}{2}

a - \frac{p ( a )}{2}

- a + \frac{p ( a )}{2}

Q14

Soit $φ$ la forme bilinéaire symétrique sur $R^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est :

2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2 .

La forme quadratique $q (x, y, z)$ associée à $φ$ est égale à :

2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z)

2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + x z)

2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z)

2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z)

Q15

La fonction

f (x) = 1 + 2 x - cos x - sin x

est équivalente au voisinage de $0$ à :

\frac{1}{3} x^{3}

\frac{2}{3} x^{3}

\frac{5}{6} x^{3}

x^{3}

Q16

Soient $E$ un espace vectoriel sur un corps commutatif $K$ et $E$ un espace affine de direction $E$ .

Pour tout point $A \in E$ , l’application $φ_{A}$ , définie de $E$ vers $E$ par

φ_{A} (M) = A M,

est :

Surjective et non injective.

Injective et non surjective.

Injective et surjective.

Aucune des affirmations précédentes n’est correcte.

Q17

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par

f (x) = x - E (x),

où $E (x)$ est la partie entière de $x$ .

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ sur $R - Z$ est donné par :

\frac{1}{2} - \frac{1}{π} n = 1 \sum + \infty \frac{sin ( 2 π n x )}{n} .

Alors :

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}

est égale à :

\frac{π}{3}

\frac{π}{4}

\frac{π}{6}

\frac{π}{8}

Q18

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $R$ , et $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ .

On considère l’application linéaire

f : E ⟶ F

et $f_{H}$ sa restriction à $H$ . Alors :

ker f_{H} = ker f

Im f_{H} = Im f

ker f_{H} = (ker f) \cap H

Im f_{H} = Im f \cap H

Q19

Soient $M$ , $N$ et $P$ trois points non alignés d’un plan affine.

L’enveloppe convexe de ${M, N, P}$ est :

Le plan

(M N P)

Le triangle

(M N P)

L’ensemble

{M, N, P}

Autre réponse.

Q20

Soient $E$ un $(R)$ -espace vectoriel et $u$ , $v$ et $ω$ trois vecteurs linéairement indépendants, et $m$ un paramètre réel.

La famille

F = {u + m v, v + mω, ω + m u}

est libre pour tout :

m \in R

m \in R^{*}

m \in R - {1}

m \in R - {- 1}

Q21

Soient $A$ et $B$ deux points distincts d’un espace affine, $S_{A}$ et $S_{B}$ les symétries centrales de centres $A$ et $B$ , et

u = A B .

On a :

S_{A} \circ t_{u} = t_{u} \circ S_{A}

S_{A} \circ S_{B} = S_{B} \circ S_{A}

S_{A} \circ t_{u} \circ S_{A} = t_{- u}

S_{A} \circ S_{B} = t_{2 u}

Q22

Soient $M$ , $N$ et $P$ trois points non alignés d’un espace affine $E$ .

On note $Aff (M, N, P)$ le sous-espace affine engendré par ${M, N, P}$ .

Alors $Aff (M, N, P)$ est :

Un plan.

Une droite.

Un singleton.

Aucune des affirmations précédentes n’est correcte.

Q23

On pose :

D = {(x, y) \in R^{2}; 1 < x^{2} + y^{2} < 4} .

La valeur de l’intégrale

\iint_{D} \frac{d x d y}{x ^{2} + y ^{2}}

est :

π ln 2

2 π ln 2

3 π ln 2

4 π ln 2

Q24

\int_{0}^{+ \infty} \frac{2}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )} d x

est égale à :

ln (\frac{2}{3})

ln (\frac{4}{3})

2 ln (\frac{2}{3})

4 ln (\frac{2}{3})

Q25

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p = \frac{1}{2} .

L’espérance

E (\frac{1}{X})

de la variable aléatoire $\frac{1}{X}$ existe et est égale à :

ln 2

2 ln 2

3 ln 2

4 ln 2

Q26

On considère une variable aléatoire $X$ de densité $f$ définie sur $R$ par :

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )} .

Alors :

P (0 < X < 1)

est égale à :

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{1}{5}

Q27

Soit $P$ une probabilité sur un espace $Ω$ . Soient $B$ et $C$ deux événements incompatibles de $Ω$ , et $A$ un événement de $Ω$ tel que :

P (A) \neq = 0.

Alors :

P_{A} (B \cup C) = P_{A} (B) - P_{A} (C)

P_{A} (B \cup C) = P_{A} (B) + P_{A} (C)

P_{A} (B \cup C) = P (A \cup B) + P (A \cup C)

P_{A} (B \cup C) = P (A \cap B) + P (A \cap C)

Q28

Soit :

f : [0, + \infty [⟶ [0, + \infty [

telle que la fonction $f$ est équivalente au voisinage de $+ \infty$ à :

\frac{1}{x ^{2 α - 4}} .

L’intégrale

\int_{1}^{+ \infty} f (x) d x

converge si $α$ est égale à :

\frac{5}{2}

\frac{17}{7}

\frac{23}{9}

\frac{27}{11}

Q29

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = ln (x + 1 + x^{2}) .

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . Alors, il existe un réel $c \in] a, b [$ tel que :

\frac{a + 1 + a ^{2}}{b + 1 + b ^{2}} = e^{\frac{a - b}{1 + c ^{2}}}

\frac{a + 1 + a ^{2}}{b + 1 + b ^{2}} = e^{\frac{b - a}{1 + 1 + c ^{2}}}

\frac{a + 1 + a ^{2}}{b + 1 + b ^{2}} = (a - b) e^{- \frac{1}{1 + c ^{2}}}

\frac{a + 1 + a ^{2}}{b + 1 + b ^{2}} = (a - b) e^{\frac{1}{1 + 1 + c ^{2}}}

Q30

Soient $a$ et $b$ deux réels, et $(D)$ et $(Δ)$ deux droites du plan.

Parmi les relations suivantes, l’une n’est pas une relation d’équivalence :

a R b ⟺ a^{2} - b^{2} = a - b

a R b ⟺ ∣ a ∣ = ∣ b ∣

(D) R (Δ) ⟺ (D) ⊥ (Δ)

(D) R (Δ) ⟺ (D) ∥ (Δ)

Q31

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $] - 1, 1 [$ par :

f (x) = ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

Le développement limité de $f$ à l’ordre $3$ en $0$ est :

2 x + \frac{2}{3} x^{3} + o (x^{3})

2 x - \frac{2}{3} x^{3} + o (x^{3})

2 x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

2 x - x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})

Q32

Soit :

φ : (C, +) ⟶ (C^{*}, \times)

un morphisme de groupe défini par :

φ (z) = e^{z} .

Alors $ker (φ)$ est égal à :

{\frac{ik π}{4}; k \in Z}

{\frac{ik π}{2}; k \in Z}

{ik π; k \in Z}

{2 ik π; k \in Z}

Q33

Laquelle des parties suivantes est convexe dans $R^{2}$ ?

Q34

L’équation

e^{x} = x^{3} + x^{2} + x + 2

admet dans $R$ :

Deux solutions

(x_{1})

(x_{2})

telles que

x_{1} x_{2} > 0.

Deux solutions

(x_{1})

(x_{2})

telles que

x_{1} x_{2} < 0.

Trois solutions positives.

Trois solutions négatives.

Q35

Soient $G$ un groupe, et $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$ . Alors :

H K

est un sous-groupe de

G

K H

est un sous-groupe de

G

H \cup K

est un sous-groupe de

G

H \cap K

est un sous-groupe de

G

Q36

Soit

f : R ⟶ R

une fonction continue et bornée. La limite

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} n f (x) e^{- n x} d x

est égale à :

f (0)

f (1)

0

1

Q37

Soient $P$ , $Q$ et $R$ trois propositions. La proposition

P \Rightarrow (\overline{Q} et R)

est équivalente à :

\overline{P} \Rightarrow (Q ou \overline{R})

(Q et R) \Rightarrow P

(Q ou \overline{R}) \Rightarrow \overline{P}

P \Rightarrow (Q et R)

Q38

Soit

A \in M_{n} (C) .

Si $λ_{1}$ , $λ_{2}$ et $λ_{3}$ sont trois valeurs propres distinctes associées respectivement aux vecteurs propres $z_{1}$ , $z_{2}$ et $z_{3}$ , alors :

La famille

{z_{1} + z_{2}, z_{1} - z_{2}, z_{3}}

est liée.

La famille

{z_{1}, z_{1} + z_{2}, z_{1} + z_{2} + z_{3}}

est libre.

{z_{1}, z_{2}, z_{3}} est libre ⟺ A est diagonalisable .

{z_{1}, z_{2}, z_{3}} est libre ⟺ A est inversible .

Q39

Soient $A$ et $B$ deux matrices complexes hermitiennes, non nulles et ne commutant pas.

On pose :

C_{1} = A + B,

C_{2} = i A + (2 + 3 i) B,

C_{3} = A B .

Alors :

Seulement

C_{1}

est hermitienne.

Seulement

C_{2}

est hermitienne.

Seulement

C_{3}

est hermitienne.

C_{1}

C_{2}

C_{3}

sont toutes hermitiennes.

Q40

Soit $G$ un groupe cyclique d’ordre $n$ , engendré par $x$ .

Les éléments $x^{2}$ et $x^{3}$ engendrent le même sous-groupe de $G$ lorsque $n$ est :

Premier avec

6

Un multiple de

6

Impair.

Pair.

Q41

Soit

f : R^{2} ⟶ R

une fonction différentiable sur $R^{2}$ telle que, pour tout $(x, y) \in R^{2}$ :

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = y (y + 1) e^{x y},

\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = x (2 y + 1) e^{x y} .

Pour tout $t \in R$ , on pose :

g (t) = f (t^{2}, 2 t) .

Alors $g$ est dérivable sur $R$ et $g^{'} (t)$ est égale à :

2 t^{2} (8 t + 3) e^{2 t^{3}}

2 t^{2} (3 t + 8) e^{2 t^{3}}

4 t^{2} (t + 1) e^{3 t^{2}}

4 t (t + 1) e^{3 t}

Q42

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un espace topologique $(X, τ)$ . Alors :

\overset{˚}{A} \cup \overset{˚}{B} = \overset{˚}{(A \cup B)}

\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cup B}

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cap B}

Fr (A) \cup Fr (B) = Fr (A \cup B)

Q43

Soit $E$ un $(R)$ -espace vectoriel. L’espace dual de $E$ est :

L (E, R)

L (R^{*}, E)

L (E, R^{*})

L (R, E)

Q44

On considère dans $M_{3} (R)$ la matrice :

M = b 21 040 2 + 6 b 23, b \in R .

La matrice $M$ est trigonalisable sur $R$ pour :

- 17 < b < - 10

- 10 \leq b < - 8

b \leq - 17

- 8 < b < - 1

Q45

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 4$ et $u$ un vecteur non nul de $E$ .

On considère :

F_{u} = {x \in E : ⟨ x, u ⟩ = 0} .

Alors $F_{u}$ est :

Une droite de

E

Un plan de

E

Un hyperplan de

E

Aucune des affirmations précédentes n’est correcte.

Q46

Soit $((X, d))$ un espace métrique. On considère dans $C$ les ensembles suivants :

A = {z \in C : ∣ z ∣ = 1},

B = {z \in C : Re (z) = 0} .

Alors :

A

B

sont connexes.

A

est connexe et

B

n’est pas connexe.

A \cap B

est connexe.

A \cup B

n’est pas connexe.

Q47

Soient

A = (12 0 - 1)

f : R^{2} ⟶ R^{2}

définie par :

f (x, y) = A (x y) + (04) .

Alors $f$ est une symétrie affine d’axe $(D)$ telle que :

(D) : y = x + 2

(D) : y = x + 1

(D) : y = x

(D) : y = x - 1

Q48

La décomposition de la fraction

F (X) = \frac{3 X ^{2} - X + 1}{X ^{2} ( X + 1 )}

en éléments simples dans $R [X]$ est de la forme :

F (X) = \frac{a}{X ^{2}} + \frac{b}{X} + \frac{c}{X + 1} .

Alors la valeur de $b$ est égale à :

-2

-1

Q49

Le groupe des éléments inversibles de l’anneau

(Z /9 Z, +, \times)

est :

{\overline{1}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{8}}

{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{8}}

{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{7}, \overline{9}}

{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}, \overline{8}}

Q50

Soient

u = (1, 2, 1) et v = (- 1, - 1, 2)

deux vecteurs de l’espace vectoriel $R^{3}$ .

Alors le sous-espace vectoriel $F$ engendré par $u$ et $v$ est égal à :

{(x, y, z) \in R^{3} : x + y + 3 z = 0}

{(x, y, z) \in R^{3} : x - y - 3 z = 0}

{(x, y, z) \in R^{3} : 5 x - 3 y + z = 0}

{(x, y, z) \in R^{3} : 5 x + 3 y + z = 0}

Q51

Soit $R_{2} [X]$ muni de la base :

B = (P_{1}, P_{2}, P_{3}),

avec :

P_{1} = (X - 1) (X + 1),

P_{2} = (X - 2) (X + 1),

et :

P_{3} = (X - 1) (X + 2) .

Les coordonnées de

P_{0} = X^{2} - 2

dans la base $B$ sont :

(\frac{1}{2}, - 1, 0)

(1, 0, \frac{1}{2})

(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})

Q52

On définit sur $R$ une loi de composition interne $(*)$ par :

\forall (x, y) \in R^{2}, x * y = ln (e^{x} + e^{y}) .

L’ensemble des solutions de l’équation

x * (x * x) = 1

est :

{- ln (3)}

{1 + ln (3)}

{1 - ln (3)}

{ln (3)}

Q53

La somme de la série

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2}}

est égale à :

\frac{4}{3} \int_{1}^{0} ln x \sum_{n \geq 0} x^{n} d x

\frac{4}{3} \int_{0}^{1} ln x \sum_{n \geq 0} x^{2 n} d x

\frac{4}{3} \int_{0}^{1} \frac{a r c t a n x}{1 + x ^{2}} d x

\frac{4}{3} \int_{0}^{1} \frac{a r c t a n x}{1 + x} d x

Aucune des propositions précédentes n’est correcte.

Q54

Laquelle des fonctions suivantes est continue en $((0, 0))$ ?

f (x, y) = {\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}, si (x, y) \neq = (0, 0), 0, si (x, y) = (0, 0) .

g (x, y) = {\frac{x ^{3} y}{x ^{4} + y ^{2}}, si (x, y) \neq = (0, 0), 0, si (x, y) = (0, 0) .

h (x, y) = {\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, si (x, y) \neq = (0, 0), 0, si (x, y) = (0, 0) .

k (x, y) = {\frac{x ln ( 1 + x ^{2} )}{y ( x ^{2} + y ^{2} )}, si (x, y) \neq = (0, 0), 0, si (x, y) = (0, 0) .

La fonction

f

La fonction

g

La fonction

h

La fonction

k

Q55

Soit $f$ l’application affine du plan qui envoie respectivement les points :

A (1), B (2 - i), C (1 + i)

vers les points :

A^{'} (1 - i), B^{'} (- 1 - 3 i), C^{'} (3 - i) .

Alors $f$ est une similitude directe :

D’angle

\frac{π}{3},

de rapport

3

et de centre

Ω (- 2 + i) .

D’angle

- \frac{π}{3},

de rapport

3

et de centre

Ω (2 - i) .

D’angle

- \frac{π}{2},

de rapport

2

et de centre

Ω (\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i) .

D’angle

\frac{π}{2},

de rapport

2

et de centre

Ω (- \frac{1}{5} + \frac{3}{5} i) .

Q57

Soit

f :] 0, + \infty [⟶ R

définie par :

f (x) = ln (x) .

En utilisant certaines propriétés de $f$ , on obtient :

2 < \frac{49}{101} (35)^{\frac{101}{49}} + \frac{52}{101} (58)^{\frac{101}{52}} < 2028

1 < \frac{49}{101} (35)^{\frac{101}{49}} + \frac{52}{101} (58)^{\frac{101}{52}} < 2029

0 < \frac{49}{101} (35)^{\frac{101}{49}} + \frac{52}{101} (58)^{\frac{101}{52}} < 2030

\frac{49}{101} (35)^{\frac{101}{49}} + \frac{52}{101} (58)^{\frac{101}{52}} \geq 2030

Q58

La fonction

f : R^{2} ⟶ R

définie par :

f (x, y) = x^{2} - 4 y^{3} - 1

admet, sous la contrainte

x - 2 y = 1,

Un minimum global en

(3, 1)

Un maximum local en

(3, 1)

Un minimum global en

(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}) .

Un maximum local en

(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}) .

Q59

Soit $P$ une population de taille $n$ , composée de deux sous-populations $P_{1}$ et $P_{2}$ d’effectifs respectifs $n_{1}$ et $n_{2}$ .

Si $\overline{x}_{1}$ et $\overline{x}_{2}$ sont les moyennes respectives de $P_{1}$ et $P_{2}$ , alors la moyenne de la population totale $P$ est :

n (\frac{x _{1}}{n _{1}} + \frac{x _{2}}{n _{2}})

\frac{x _{1} + x _{2}}{2}

\frac{( n _{1} + n _{2} ) ( x _{1} + x _{2} )}{2}

\frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2}}{n}

Q60

Soit le système :

(S) : {2 x + y + z = 5, x + 2 y + z = - 2, x + y + 2 z = 4,

et soit la matrice :

A = 211121112,

vérifiant la relation :

A^{2} = 5 A - 4 I_{3} .

Le système $(S)$ admet une solution unique $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , avec :

x_{0} = \frac{1}{4} (3 - 1 - 1) 5 - 2 4

x_{0} = \frac{1}{4} (- 1 31) 5 - 2 4

x_{0} = \frac{1}{2} (- 1 - 1 3) 5 - 2 4

x_{0} = \frac{1}{2} (- 1 - 3 1) 5 - 2 4