مباراة ولوج سلك أطر التدريس بالمراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين

مسلك التعليم الثانوي الإعدادي

دورة أبريل 2024

الموضوع

بيانات الاختبار

الاختبار	اختبار في مادة أو مواد التخصص
التخصص	الرياضيات
مدة الإنجاز	أربع ساعات
المعامل	20

QCM de l’examen de mathématiques — Q1 à Q12

Version corrigée avec écriture mathématique propre, validation question par question et correction détaillée.

La somme de la série numérique

k \geq 0 \sum \frac{( ln 3 ) ^{k}}{( k + 1 )!}

est égale à :

ln (3)

2 ln (3)

\frac{1}{ln 3}

\frac{2}{ln 3}

On considère la fonction $F$ définie sur $[e, + \infty [$ par :

F (x) = \int_{1}^{l n x} (\frac{e ^{t} - 1}{t}) d t .

Alors la fonction $F$ est dérivable sur $[e, + \infty [$ et $F^{'} (x)$ est égale à :

\frac{x - 1}{ln x}

\frac{x - 1}{x ln x}

\frac{x ^{2} - 1}{ln x}

\frac{x - 1}{x ^{2} ln x}

Laquelle des parties suivantes est un sous-groupe de $(Z, +)$ ?

8 Z \cup 4 Z

7 Z \cup 4 Z

6 Z \cup 4 Z

5 Z \cup 4 Z

Soient $f$ l’application définie de $C$ vers $C$ par :

f (z) = (3 + i) z + 3

E = {i 3 + 2 e^{i t}, t \in [0, 2 π]} .

Alors $f (E)$ est un cercle de centre $Ω (ω)$ et de rayon $R$ avec :

ω = 2 i et R = 2

ω = - 3 i et R = 4

ω = 3 i et R = 4

ω = - 2 i et R = 2

Soit $M \in M_{n} (R)$ telle que :

M^{2} = 4 M - 2 I_{n} .

Alors $M$ est inversible et $M^{- 1}$ est égal à :

\frac{1}{2} M + 2 I_{n}

- 2 I_{n} - \frac{1}{2} M

2 I_{n} - \frac{1}{2} M

\frac{1}{2} M - 2 I_{n}

Soient $E$ un espace affine, $h$ une homothétie de centre $Ω$ et de rapport $k$ , avec $k \neq = 1$ , et $f$ une transformation affine de $E$ telle que :

f (Ω) \neq = Ω.

Alors $(f \circ h \circ f^{- 1})$ est une homothétie :

de centre

Ω

et de rapport

k

de centre

f (Ω)

et de rapport

k

de centre

f^{- 1} (Ω)

et de rapport

k^{- 1}

de centre

Ω

et de rapport

2 k

Soient $f$ et $g$ deux applications définies de $] 0, + \infty [$ vers $R$ par :

f (x) = x + \frac{1}{x}

g (x) = x - \frac{1}{x} .

Alors :

g

est bijective sur

] 0, + \infty [

f

est bijective sur

] 0, + \infty [

f

est injective et non surjective sur

] 0, + \infty [

g

est injective et non surjective sur

] 0, + \infty [

On pose :

a = 3^{2023} + 3^{2024} + 3^{2025} + 3^{2026} + 3^{2027} + 3^{2028} + 3^{2029} + 3^{2030} .

Alors :

a \equiv 4 [5]

a \equiv 2 [5]

a \equiv 1 [5]

a \equiv 0 [5]

On jette 20 fois la même pièce de monnaie parfaitement équilibrée. La probabilité que le nombre de piles soit compris entre 14 et 16 est :

\frac{C _{20}^{14} + C _{20}^{15} + C _{20}^{16}}{2 ^{20}}

\frac{C _{20}^{2} + C _{20}^{3} + C _{20}^{4}}{2 ^{20}}

\frac{C _{20}^{3} + C _{20}^{4} + C _{20}^{5}}{2 ^{20}}

\frac{C _{20}^{4} + C _{20}^{5} + C _{20}^{6}}{2 ^{20}}

Q10

Soit :

φ : (Z /12 Z, +) ⟶ (Z /12 Z, +)

un morphisme de groupe défini par :

φ (\overline{x}) = \overline{4 x} .

Alors $ker φ$ est le sous-groupe engendré par :

\overline{3}

\overline{4}

\overline{5}

\overline{1}

Q11

Le système suivant :

{5 x - 3 y - z = 9 - 2 x + 2 y + 2 z = b - 3 x + y - z = - 4

admet des solutions dans $R^{3}$ pour une valeur de $b$ égale à :

- 4

- 3

- 5

- 6

Q12

On pose :

D = {(x, y) \in R^{2}; x \geq 0, y \geq 0, 3 < x^{2} + y^{2} < 4} .

La valeur de l’intégrale

\iint_{D} \frac{2 x y}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y

est :

2

1.5

1

0.5

Q13

x \to 0 lim \frac{ln ( cos 2 x )}{ln ( cos 3 x )}

est égale à :

- \frac{4}{9}

\frac{4}{9}

\frac{2}{3}

- \frac{2}{3}

Q14

On considère dans $M_{2} (R)$ la matrice suivante :

M = (cos^{2} a sin^{2} a sin^{2} a cos^{2} a), a \in R .

La matrice $M$ est diagonalisable sur $M_{2} (R)$ :

uniquement pour

a = 0

uniquement pour

a = \frac{π}{2}

uniquement pour

a = \frac{π}{3}

aucune des affirmations précédentes n’est correcte

Q15

Laquelle des parties suivantes est ouverte dans $R^{2}$ ?

E = {(x, y) \in R^{2} / x y \geq 2}

E = {(x, y) \in R^{2} / 2 \leq y \leq x}

E = {(x, y) \in R^{2} / 0 < ∣ x - 2∣ < 2}

E = {(x, y) \in R^{2} / x y = 2}

Q16

Soient $F$ et $G$ deux ensembles bornés non vides de $R$ . Alors :

sup (F \cup G) = max (sup (F), sup (G))

sup (F \cup G) = sup (F) \times sup (G)

sup (F \cup G) = sup (F) + sup (G)

sup (F \cup G) = sup (F) + sup (G) - sup (F \cap G)

Q17

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $2$ , dont la fonction de densité est définie sur $R$ par :

f (x) = {2 e^{- 2 x} si x \geq 0, 0 si x < 0.

Soit $β \in] 0, + \infty [$ tel que :

P (X \leq β) = P (X > β) .

Alors $β$ est égal à :

\frac{ln ( 2 )}{2}

\frac{ln ( 3 )}{3}

2 ln (2)

3 ln (3)

Q18

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, + \infty [$ par :

f (x) = {\frac{2 x - ln ( 1 + 2 x )}{x} si x > 0, 0 si x = 0.

Alors $f_{d}^{'} (0)$ est égale à :

1

2

3

4

Q19

On considère dans l’espace vectoriel $R^{4}$ , muni de la base canonique, les vecteurs :

u_{1} = (1, 0, 0, 1), u_{2} = (0, 0, 1, 1), u_{3} = (0, 0, 2, 2), u_{4} = (0, 1, 1, 0) .

Alors le rang de la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4})$ est égal à :

4

1

2

3

Q20

On considère la fonction :

f :] 0, \frac{3 π}{2} [⟶ R, f (x) = ln (1 + sin x) .

Alors, pour tout $x \in] 0, \frac{3 π}{2} [$ , on a :

f (x) \geq \frac{π}{4} - x

f (x) \leq \frac{π}{3} - x

f (x) \geq \frac{π}{2} - x

f (x) \leq π - x

Q21

On munit $R^{2}$ de sa topologie usuelle.

On considère la fonction $f : R^{2} \to R$ définie par :

f (x, y) = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{e ^{x} - e ^{y}} .

L’ensemble de définition de la fonction $f$ est :

ouvert

fermé

borné

compact

Q22

Soit $f$ une isométrie d’un espace euclidien. Alors :

f

est surjective et non injective

f

est injective et non surjective

la partie linéaire de

f

ne conserve pas le produit scalaire

la partie linéaire de

f

conserve la norme

Q23

Soit $φ$ l’application de $R^{2}$ dans $R^{2}$ définie par :

φ (x, y) = (x + y, x y) .

Alors $φ (R^{2})$ est égale à :

{(x, y) \in R^{2}; x^{2} - 4 y \geq 0}

{(x, y) \in R^{2}; - 1 \leq x^{2} - 4 y < 0}

{(x, y) \in R^{2}; - 2 \leq x^{2} - 4 y < - 1}

{(x, y) \in R^{2}; x^{2} - 4 y < - 2}

Q24

On considère dans $M_{3} (R)$ la matrice suivante :

M = a 122 21 - 2 2 - 2 1, a \in R .

Si la matrice $M$ est orthogonale, alors $a^{2}$ est égal à :

\frac{1}{4}

\frac{1}{9}

\frac{1}{16}

\frac{1}{25}

Q25

La décomposition de la fraction :

F (X) = \frac{4}{( X ^{2} - 1 ) ^{2}}

en éléments simples dans $R [X]$ est de la forme :

F (X) = \frac{a}{X + 1} + \frac{b}{( X + 1 ) ^{2}} + \frac{c}{X - 1} + \frac{d}{( X - 1 ) ^{2}} .

Alors :

a = - c et b = - d

a = - c et b = d

a = c et b = d

a = c et b = - d

Q26

On considère la série statistique suivante :

Classe	[3,5[	[5,7[	[7,9[	[9,11[	[11,13[
Effectif	11	6	6	4	3

La variance de cette série est égale à :

7.36

7.40

7.46

7.50

Q27

Soit $f$ une fonction définie sur $R$ et deux fois dérivable en $a$ , avec $a \in R$ . Alors :

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) + f ( a - h ) - 2 f ( a )}{h ^{2}}

est égale à :

f^{'} (a)

2 f^{'} (a)

f^{''} (a)

2 f^{''} (a)

Q28

Soit $P$ une probabilité sur un ensemble $Ω$ . Soient $A$ et $B$ deux événements de $Ω$ tels que :

P (B) = \frac{3}{4}

P (A \cup \overline{B}) = \frac{4}{5} .

Alors $P_{B} (A)$ est égale à :

\frac{11}{12}

\frac{7}{12}

\frac{11}{15}

\frac{7}{15}

Q29

Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ la suite définie par :

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{n}{3 n ^{2} + k ^{2}} .

Alors :

n \to + \infty lim u_{n}

est égale à :

\frac{π}{3 3}

\frac{π}{3}

\frac{π}{6 3}

\frac{π}{6}

Q30

Soit $B = (1, X, X^{2}, X^{3})$ la base canonique de l’espace vectoriel $R_{3} [X]$ .

Soit :

f : R_{3} [X] ⟶ R_{3} [X], f (P) = (X + 1) P^{'} .

Alors $dim Im f$ est égale à :

2

3

1

4

Q31

Soit $F$ une partie de l’espace vectoriel normé $R^{2}$ . On considère les propositions suivantes :

P : « F est une partie connexe de R^{2} »

Q : « F est une partie connexe par arc de R^{2} »

R : « F est une partie convexe de R^{2} »

Alors on a les implications suivantes :

R \Rightarrow Q \Rightarrow P

Q \Rightarrow R \Rightarrow P

R \Rightarrow P \Rightarrow Q

Q \Rightarrow P \Rightarrow R

Q32

Soient $M \in M_{n} (C)$ une matrice hermitienne et $λ$ une valeur propre de $M$ . Alors :

\overline{λ} = λ

\overline{λ} = - λ

\overline{λ} = - λi

\overline{λ} = λi

Q33

On considère dans $M_{3} (R)$ la matrice suivante :

M = 211121112 .

Le polynôme caractéristique de la matrice $M$ est de la forme :

(X - 1)^{2} (X - α)

avec $α \in R$ . Alors $α$ est égal à :

4

3

2

1

Q34

On considère dans le $C$ -espace vectoriel $C^{3}$ , muni du produit scalaire hermitien canonique, le sous-espace vectoriel :

F = {(x, y, z) \in C^{3}; x - 2 i y + z = 0} .

Donc $F^{⊥}$ , l’orthogonal de $F$ , est la droite engendrée par le vecteur :

(1, 1, 2 i)

(1, 2 i, 1)

(- 2 i, 1, 1)

(1, - 2 i, 1)

Q35

On considère la fonction :

f : R \to R, f (t) = e^{- ∣ t ∣} .

La transformée de Fourier de $f$ est égale à :

\frac{1}{1 + t}

\frac{2}{1 + 2 t}

\frac{2}{2 + t ^{2}}

\frac{2}{1 + t ^{2}}

Q36

On considère dans $M_{3} (R)$ la matrice suivante :

M = 101011111 .

Lequel des vecteurs suivants est un vecteur propre de $M$ ?

(- 1, 1, 2)

(1, 1, 0)

(- 1, 1, 0)

(1, - 1, - 2)

Q37

Lequel des polynômes à plusieurs indéterminées suivants est homogène ?

3 X Z + 3 X^{2} Y + 3 X Y^{2} + X^{3} + Y^{3}

3 X^{2} Y + 2 X^{2} Y Z + 5 X Y + X^{4} + Y^{4}

3 X^{2} Y^{2} + 2 X^{2} Y Z + 5 X Y^{3} + X^{4} + Z^{4}

4 X Z^{4} + 4 X^{2} Y^{2} + 2 X Y + Y^{2} + Z^{2}

Q38

Soit $q$ la forme quadratique hermitienne définie sur $C^{2}$ par :

q (z_{1}, z_{2}) = 2 \overline{z_{1}} z_{1} - 3 i \overline{z_{1}} z_{2} + 3 i \overline{z_{2}} z_{1} + 3 \overline{z_{2}} z_{2} .

La matrice de $q$ dans la base canonique est :

(2 - 3 i 3 i 3)

(2 3 i 3 i - 3)

(2 3 i - 3 i 3)

(- 2 3 i 3 i 3)

Q39

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls tels que :

a + b = 1

et $f$ l’endomorphisme de $R^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est :

M = 1 b 0 0 a b 00 a .

Alors :

(x, y, z) \in ker (f - Id)

si et seulement si :

x = y = - z

x = y = z

x = - y = z

x = - y = - z

Q40

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre :

\frac{4}{7} .

Alors :

P (X = 1) + P (X = 2)

est égale à :

\frac{40}{49}

\frac{30}{49}

\frac{20}{49}

\frac{10}{49}

Q41

Soit $φ$ l’application de $R$ dans $R$ définie par :

φ (x) = x^{2} + 1.

Alors l’image réciproque de l’intervalle $[2, 10]$ par $φ$ est :

[- 9, - 1] \cup [1, 9]

[- 3, - 1] \cup [1, 3]

[- 9, - 1] \cup [1, 3]

[- 3, - 1] \cup [1, 9]

Q42

On pose :

a = 2^{3} \times 3^{5} \times 5^{8}

et :

b = 2^{5} \times 3^{3} \times 7^{2} .

Alors :

PGCD (a^{30}, b^{30})

est égal à :

6^{150}

6^{90}

6^{60}

6^{30}

Q43

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique de paramètres :

N = 20, n = 5, m = 12.

Alors $E (X)$ est égale à :

4.5

4

3.5

3

Q44

Soient $E$ un espace affine euclidien de dimension $3$ , muni d’un repère orthonormé direct :

(O, i, j, k),

et $f : E \to E$ l’application affine dont la forme analytique est :

{x^{'} = - z - 2, y^{'} = - x + 1, z^{'} = y + 1.

Donc $f$ , la partie linéaire de $f$ , est une rotation vectorielle autour de l’axe $vect (u)$ et d’angle $θ$ tels que :

u = (1, 1, 1) et θ = \frac{2 π}{3}

u = (- 1, - 1, - 1) et θ = \frac{2 π}{3}

u = (1, - 1, 1) et θ = - \frac{2 π}{3}

u = (- 1, 1, 1) et θ = - \frac{2 π}{3}

Q45

Soit :

f :] 0, + \infty [\to R, f (x) = ln (x) .

Alors, pour tout $x \in] 0, + \infty [$ , on a :

\frac{1}{x + 1} \leq f (\frac{1 + x}{x}) \leq \frac{1}{x}

1 + \frac{1}{x + 1} \leq f (\frac{1 + x}{x}) \leq 1 + \frac{1}{x}

\frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \leq f (\frac{1 + x}{x}) \leq \frac{1}{x ^{2}}

1 + \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} \leq f (\frac{1 + x}{x}) \leq 1 + \frac{1}{x ^{2}}

Q46

On considère la fonction $f$ définie sur $R^{2}$ par :

f (x, y) = ln (x^{2} + y^{2}) .

Alors :

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}

est égale à :

0

1

2

3

Q47

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est :

312 - 1 23 1 - 2 - 3 .

Alors $ker f$ est égal à :

vect ((1, 0, - 1))

vect ((0, - 1, 1))

vect ((0, 1, 1))

vect ((1, 0, 1))

Q48

Soient $E$ un espace hermitien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tels que :

dim (E) = 12

et :

dim (F) = 7.

Alors $dim (F^{⊥})$ est égale à :

4

5

6

7

Q49

Soit $a \in R^{*}$ . L’intégrale :

\int_{a}^{a 3} \frac{a}{a ^{2} + x ^{2}} d x

est égale à :

\frac{11 π}{12}

\frac{7 π}{12}

\frac{5 π}{12}

\frac{π}{12}

Q50

On définit sur $] 1, + \infty [$ une loi de composition interne $(*)$ par :

\forall (x, y) \in (] 1, + \infty [)^{2}, x * y = x ln y .

L’ensemble de solutions de l’équation :

(x * x) * x = x

dans $] 1, + \infty [$ est :

\emptyset

{exp (1)}

{exp (2)}

{exp (3)}

Q51

Soit $(X, d)$ un espace métrique tel que tout singleton de $X$ est un ouvert.

Si $E$ est une partie de $X$ , alors :

E

est ouvert non fermé

E

est fermé non ouvert

E

est à la fois ouvert et fermé

aucune des affirmations précédentes n’est correcte

Q52

Dans un lycée, $5%$ d’élèves mesurent moins de $1.65 m$ .

On suppose que la taille de ces élèves suit une loi normale d’écart-type $σ$ .

On prend :

F (1.64) = 0.95

avec $F$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Alors la taille moyenne de ces élèves est de la forme :

1.64 σ - 1.65

1.64 σ + 1.65

1.65 σ + 1.64

1.65 σ - 1.64

Q53

Soit $E$ un $(K)$ -espace vectoriel, muni d’une base :

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) .

Les coordonnées de $e_{1}$ dans la base :

B_{1} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

avec :

u_{1} = 3 e_{1} + e_{2} - e_{3}, u_{2} = e_{1} - 2 e_{2} + e_{3}, u_{3} = e_{2} - e_{3}

sont :

(- \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3})

(\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3})

(- \frac{1}{3}, 0, - \frac{1}{3})

(\frac{1}{3}, 0, - \frac{1}{3})

Q54

L’intégrale :

\int_{0}^{1} ln^{2} (x) d x

converge et sa valeur est égale à :

0

1

2

3

Q55

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que :

a \equiv b [5] .

Alors :

a^{5} \equiv b^{5} [5^{2}]

a^{5} \equiv b^{5} [5^{3}]

a^{5} \equiv b^{5} [5^{4}]

a^{5} \equiv b^{5} [5^{5}]

Q56

Parmi les séries suivantes, laquelle converge absolument ?

\sum_{n \geq 2} \frac{( - 1 ) ^{n}}{l n n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n n}

Q57

Soient $N_{1}$ et $N_{2}$ deux normes définies sur $R [X]$ respectivement par :

N_{1} (P) = k = 0 \sum + \infty P^{(k)} (0)

N_{2} (P) = - 1 \leq t \leq 1 sup ∣ P (t) ∣.

Soit :

D : R [X] ⟶ R [X], D (P) = P^{'} .

Alors $D$ :

est continue pour les deux normes

N_{1}

N_{2}

n’est pas continue pour les deux normes

N_{1}

N_{2}

est continue pour la norme

N_{1}

est continue pour la norme

N_{2}

Q58

Soit $F$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par :

F (x) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin 2 t}{1 + x sin t} d t .

En effectuant le changement de variable :

u = sin t,

alors $F (x)$ est égale à :

\frac{2}{x} (1 - \frac{l n ( 1 + x )}{x})

1 - \frac{l n ( 1 + x )}{x}

\frac{2 l n ( 1 + x )}{x}

\frac{l n ( 1 + x )}{x}

Q59

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$ et $B$ une base orthonormée directe.

L’endomorphisme représenté dans la base $B$ par la matrice :

M = \frac{1}{7} - 2 6 - 3 632 - 3 26

est la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel suivant :

{(x, y, z) \in E; 2 x + 3 y + z = 0}

{(x, y, z) \in E; 3 x + 2 y + z = 0}

{(x, y, z) \in E; 2 x - 3 y - z = 0}

{(x, y, z) \in E; 3 x - 2 y + z = 0}

Q60

Soient $E$ un espace compact, $F$ un espace métrique complet et $C (E, F)$ l’ensemble des fonctions continues sur $E$ à valeurs dans $F$ .

Soit $H$ une partie de $C (E, F)$ telle que :

1. $H$ est équicontinue ;

2. pour tout $x \in E$ , l’ensemble $H (x) = {f (x); f \in H}$ est relativement compact dans $F$ .

Alors $H$ est relativement compacte dans $C (E, F)$ , muni de la topologie de la convergence uniforme, d’après le théorème de :

Baire

Ascoli

Dini

Stone-Weierstrass