دورة فبراير 2024 — الرياضيات

مباراة ولوج المراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين لتوظيف أساتذة التعليم الثانوي من الدرجة الثانية - دورة فبراير 2024

الموضوع

بيانات الاختبار

الاختبار	اختبار في مادة أو مواد التخصص
التخصص	الرياضيات
مدة الإنجاز	أربع ساعات
المعامل	20

QCM de l’examen de mathématiques — Q1 à Q9

Version corrigée avec écriture mathématique propre, validation question par question et correction détaillée.

Calculer la limite :

n \to + \infty lim (k = 1 \sum n \frac{ln ( n + k )}{n} - ln n)

- 1 + 2 ln 2

- 2 + ln 2

1 + 2 ln 2

2 + 2 ln 2

Soit

M = 010001100

une matrice de $M_{3} (R)$ . Alors

M^{2030}

est égale à :

M

M^{2}

I_{3}

O

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $9$ , et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que :

dim (F) = 5

dim (G) = 7.

Alors :

1 \leq dim (F \cap G) < 5

3 \leq dim (F \cap G) \leq 5

4 < dim (F \cap G) \leq 7

5 < dim (F \cap G) \leq 9

Soit $a \in R$ . On considère sur $R^{2}$ les deux fonctions $f$ et $g$ définies par :

f (x, y) = \frac{x ^{a} y}{x ^{2} + y ^{2}}

g (x, y) = {f (x, y) si (x, y) \neq = (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0) .

Alors $g$ est le prolongement par continuité de $f$ en $(0, 0)$ si :

a < 0

0 < a < \frac{1}{2}

a > 1

\frac{1}{2} < a < 1

Soit $A, B \in M_{n} (C)$ , avec $B$ inversible. Alors

e^{B^{- 1} A B}

est égal à :

e^{A}

B^{- 1} e^{A} B

B e^{A} B

B^{- 1} e^{A} B^{- 1}

Soit $f$ une isométrie d’un espace euclidien. Alors :

l’application

f

est surjective et non injective

l’application

f

est injective et non surjective

la partie linéaire de

f

conserve le produit scalaire

la partie linéaire de

f

ne conserve pas la norme

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère la transformation $T$ qui à chaque point $M (z)$ associe le point $M^{'} (z^{'})$ tel que :

z^{'} = - \overline{z} + 2.

Alors $T$ est la composée d’une :

homothétie et d’une symétrie axiale

translation et d’une rotation

translation et d’une symétrie axiale

symétrie axiale et d’une rotation

Le rayon de convergence de la série entière :

n \geq 1 \sum C_{2 n}^{n} z^{n}

est :

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

3

+ \infty

On considère l’équation différentielle suivante :

y^{''} (x) - 4 y^{'} (x) - 21 y (x) = e^{2 x} .

La solution générale de l’équation homogène associée est :

α e^{- 3 x} + β e^{2 x}

(α x + β) e^{- 3 x}

(α cos 3 x + β sin 3 x) e^{7 x}

α e^{- 3 x} + β e^{7 x}

Q10

Calculer :

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{- 2 x} d x

1

2

3

4

Q11

Soit $ω$ une forme différentielle sur $R^{2}$ définie par :

ω (x, y) = \frac{2 x y}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x + φ (x) d y

où $φ$ est une application de classe $C^{1}$ de $R$ dans $R$ , vérifiant :

φ (0) = 0.

Si $ω$ est exacte sur $R^{2}$ , alors $φ (x)$ est égale à :

- 1 + \frac{1}{1 + x ^{2}}

1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}

1 - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

- 1 + \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

Q12

L’intégrale :

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x e ^{- x}}{1 - e ^{- 2 x}} d x

est égale à :

\sum_{n \geq 0} \frac{1}{( 2 + n ) ^{2}}

\sum_{n \geq 0} \frac{1}{2 + n}

\sum_{n \geq 0} \frac{1}{( 1 + 2 n ) ^{2}}

\sum_{n \geq 0} \frac{1}{1 + 2 n}

Q13

On munit le sous-ensemble :

X = [0, 1] \cup [2, 4 [

de $R$ de la distance usuelle :

d (x, y) = ∣ x - y ∣.

Soient :

A = [2, 4 [

et :

B = [0, 1] .

Dans l’espace topologique $X$ , on a :

A

ni ouvert et ni fermé

A

ouvert non fermé

B

ouvert et fermé

B

fermé non ouvert

Q14

Soit $n \in N$ , et soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $R [X]$ définis par :

P (X) = X^{n}

et :

Q (X) = X^{2} - 3 X + 2.

Le reste de la division euclidienne de $P (X)$ par $Q (X)$ est :

(3^{n} - 6) X + 2 - 2^{n}

(3^{n} - 6) X - 2^{n}

(2^{n} - 1) X - 2^{n}

(2^{n} - 1) X + 2 - 2^{n}

Q15

Soit :

f : (G, \cdot) \to (G, \cdot)

un morphisme de groupe. Alors, pour tout $x \in G$ :

f (x^{- 1}) = (f (x))^{- 1}

f (x^{- 1}) = f (x)

f (x^{- 1}) = x^{- 1}

f (x^{- 1}) = x

Q16

On considère $E$ un espace affine de direction $E$ . Soient $V$ et $V^{'}$ deux sous-espaces affines de $E$ , de directions respectives $V$ et $V^{'}$ .

Si $V$ et $V^{'}$ sont supplémentaires dans $E$ , alors $V \cap V^{'}$ est égale à :

un plan

une droite

un hyperplan

un singleton

Q17

Calculer :

n \to + \infty lim (\frac{1 + ( ln 2 ) ^{2} + \dots + ( ln 2 ) ^{2 n}}{1 + ln 2 + \dots + ( ln 2 ) ^{n}})

\frac{1}{1 + 2 l n 2}

\frac{1}{1 + l n 2}

\frac{1}{1 - l n 2}

\frac{1}{1 - 2 l n 2}

Q18

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que :

A^{3} = A^{2} .

Le spectre de la matrice $A^{2}$ est :

{0, 1}

{0, - 1}

{- 1, 1}

{- 1, 2}

Q19

Soit $q$ une forme quadratique sur $R^{3}$ définie pour tout

t = (x, y, z) \in R^{3}

par :

q (t) = x^{2} + y^{2} + x z .

La signature de $q$ est égale à :

(0, 3)

(3, 0)

(2, 1)

(1, 2)

Q20

Soit $P$ une probabilité sur un espace $Ω$ . Soit $A$ un événement de $Ω$ tel que :

0 < P (A) < 1.

Alors, pour tout événement $B$ de $Ω$ , $P (B)$ est égale à :

P (A) P_{A} (B) + (1 - P (A)) P_{\overline{A}} (\overline{B})

P (A) P_{A} (B) + (1 - P (A)) P_{A} (B)

P (A) P_{A} (\overline{B}) + (1 - P (A)) P_{\overline{A}} (B)

P (A) P_{A} (B) + (1 - P (A)) P_{\overline{A}} (B)

Q21

On munit $R^{2}$ de sa structure usuelle d’espace métrique produit. Soit :

A = {(x, sin (\frac{1}{x})); x > 0}

et $\overline{A}$ son adhérence. On a :

A

n’est pas connexe par arc

\overline{A}

est connexe par arc

\overline{A}

est connexe

\overline{A} = A \cup {0}

Q22

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{+}$ par :

f (x) = 3 x^{3} + x - 1 + x^{2} .

La fonction $f$ est équivalente au voisinage de $+ \infty$ à :

\frac{1}{6 x ^{2}}

- \frac{1}{6 x ^{2}}

\frac{1}{6 x}

- \frac{1}{6 x}

Q23

Sachant que :

23456 \equiv 2 (mod 6),

alors le reste de la division euclidienne de

2345 6^{654}

par $6$ est égal à :

1

2

3

4

Q24

En effectuant le changement de variable :

t = tan (\frac{x}{2}),

l’intégrale

\int_{0}^{π} \frac{d x}{5 + 3 cos x}

\frac{π}{8}

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{2}

Q25

Soit

(x_{i}, n_{i})_{1 \leq i \leq p}

une série statistique de moyenne $\overline{x}$ et d’effectif total $n$ . Alors la variance est le nombre $V$ défini par :

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{p} (n_{i} x_{i})^{2} - (\overline{x})^{2}

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2}

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{p} n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2}

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (n_{i} x_{i})^{2} - (\overline{x})^{2}

Q26

Soit $q$ une forme quadratique sur $R^{2}$ dont la matrice associée dans la base canonique est :

A = (1 a a 1) .

L’ensemble des réels $a$ pour lesquels $q$ est définie positive est :

] - \infty, - 1]

[1, + \infty [

] - 1, 1 [

{- 1, 1}

Q27

On considère une variable aléatoire $X$ de densité :

f (t) = {k t e^{- 2 t} si t \geq 0, 0 si t < 0.

Pour que $f$ soit une densité de probabilité, la constante $k$ doit prendre la valeur :

1

2

3

4

Q28

On considère la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N}$ définie sur $R$ par :

f_{n} (x) = n e^{- n^{2} x^{2}} .

Alors $(f_{n})_{n \in N}$ converge :

simplement sur

R

uniformément sur

[a, + \infty [

, avec

a > 0

uniformément sur

] 0, + \infty [

uniformément sur

R^{*}

Q29

Soient $E$ un espace affine euclidien de dimension trois et $(D)$ une droite affine de $E$ définie par :

(D) : {x - y + z - 1 = 0, x - 3 y = 0.

La distance du point $M (1, - 1, 2)$ à la droite $(D)$ est égale à :

7

2

3

5

Q30

Soient $n \in N^{*}$ et $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = x^{n} (1 - x)^{n} .

La dérivée n-ième de la fonction $f$ en $1$ , $f^{(n)} (1)$ , est égale à :

0

(- 1)^{n} 2^{n - 1}

- n!

(- 1)^{n} n!

Q31

Soient $t$ une translation affine de vecteur $u$ et $h = h (Ω, k)$ une homothétie affine de centre $Ω$ et de rapport

k \in R ∖ {0, 1} .

Alors $h \circ t$ est une :

translation affine de vecteur

k u

translation affine de vecteur

(- k) u

homothétie affine de rapport

k

homothétie affine de rapport

(- k)

Q32

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que :

2 \leq p < n .

$f$ est un endomorphisme non nul d’un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ tel que :

f^{p} = 0.

Alors le polynôme caractéristique de $f$ est :

X^{n}

X^{p}

X^{n} - X

X^{p} - X

Q33

Soit :

f : R^{2} ∖ {(0, 0)} \to R

une fonction définie par :

f (x, y) = \frac{x ^{2} y ^{3}}{3 x ^{4} + 2 y ^{6}} .

Alors :

(x, y) \to (0, 0) lim f (x, y)

est égale à :

0

\frac{1}{2}

\frac{1}{5}

aucune des affirmations précédentes n’est correcte

Q34

Soit :

f : R_{2} [X] \to R_{3} [X]

une application linéaire définie par :

f (P) = 3 X P - (3 X^{2} + 4 X) P^{'} .

On pose :

n = dim ker f

et :

m = dim Im f .

Alors :

n = 3

m = 3

n = 1 et m = 2

n = 2 et m = 1

Q35

La fonction :

f : R^{2} \to R

définie par :

f (x, y) = 5 x^{3} - 2 y^{2} + 2

admet, sous la contrainte :

3 x + y = 1

un minimum :

global en

(2, - 5)

global en (\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})

local en

(2, - 5)

local en (\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})

Q36

On considère la fonction :

f :] 0, + \infty [\times] 0, + \infty [\to R

définie par :

f (x, y) = ln (x) + ln (y) + x + y .

D’après le théorème des fonctions implicites, il existe une fonction continûment différentiable $φ (x)$ définie sur un voisinage de $1$ , vérifiant :

φ (1) = 1

et :

f (x, φ (x)) = 2.

Alors $φ^{'} (1)$ est égale à :

2

- 2

1

- 1

Q37

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ tels que :

p = \frac{1}{2} .

Alors :

P (X = 0) + P (X = 1)

est égale à :

\frac{n}{2 ^{n}}

\frac{n}{2 ^{n + 1}}

\frac{n + 1}{2 ^{n + 1}}

\frac{n + 1}{2 ^{n}}

Q38

On considère dans $M_{3} (R)$ la matrice suivante :

M = a 2 - 1 040121

où $a \in R$ .

La matrice $M$ est trigonalisable sur $M_{3} (R)$ pour :

- 1 < a < 0

0 < a < 2

1 < a < 3

a \geq 3

Q39

La fonction :

f :] 0, + \infty [\to R

définie par :

f (x) = x^{λ - 1} e^{- x}

est intégrable sur $] 0, + \infty [$ par rapport à la mesure de Lebesgue pour :

λ > 0

λ > 1

λ > 2

tout λ \in R

Q40

On lance dix dés équilibrés, chacun d’eux ayant deux faces blanches et quatre faces rouges.

On considère l’événement $A$ : « obtenir au moins une face rouge ».

La probabilité de l’événement $A$ est égale à :

1 - (\frac{1}{6})^{10}

1 - (\frac{1}{2})^{10}

1 - (\frac{2}{3})^{10}

1 - (\frac{1}{3})^{10}

Q41

Lequel des ensembles suivants est un sous-espace vectoriel de $(R^{2}, +, \cdot)$ :

E = {(a, b) \in R^{2} ∣ a^{2} + b^{2} \leq 1}

H = {(a, b) \in R^{2} ∣ a^{2} = b}

G = {(a, b) \in R^{2} ∣ a \leq 0}

F = {(a, b) \in R^{2} ∣ a + b = 0}

Q42

Soient $E$ un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ , $u$ un vecteur unitaire de $E$ et $k \in R$ .

On considère l’application :

f : E \times E \to R

définie par :

f (x, y) = ⟨ x, y ⟩ - k ⟨ x, u ⟩ ⟨ y, u ⟩ .

La condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $f$ soit un produit scalaire est :

k > - 1

k < - 1

k > 1

k < 1

Q43

On pose :

a = 1 0^{9^{8}}

et :

b = 8^{9^{10}}

alors $PGCD (a, b)$ est égal à :

8^{9^{8}}

4^{8^{9}}

2^{9^{8}}

1

Q44

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties d’un ensemble $E$ . Alors l’ensemble :

(A ∖ B) \cup (B ∖ C) \cup (C ∖ A) \cup (A \cap B \cap C)

est égal à :

A \cap B \cap C

A \cup B \cup C

(A \cap B) \cup C

A \cap (B \cup C)

Q45

Soit :

M = (5 - 2 21)

une matrice de $M_{2} (R)$ . La décomposition de Dunford de $M$ est :

(3003) + (2 - 2 2 - 2)

(2002) + (3 - 2 2 - 1)

(4004) + (1 - 2 2 - 3)

(5005) + (0 - 2 2 - 4)

Q46

Soit $Γ$ le segment de droite d’origine $A (1, 1)$ et d’extrémité $B (2, 2)$ .

La valeur de l’intégrale curviligne

\int_{Γ} \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} d x + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} d y

est :

4 ln 2

3 ln 2

2 ln 2

ln 2

Q47

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et :

f : E \to F

une application. Pour tout $A \in P (E)$ , on a :

A \subset f^{- 1} (f (A))

A \subset B ⟺ f (A) \subset f (B)

f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)

f (A \cup B) = f (A) \cap f (B)

Q48

La décomposition de la fraction :

F (X) = \frac{3 X - 1}{X ^{2} ( X + 1 ) ^{2}}

en éléments simples dans $R [X]$ est de la forme :

F (X) = \frac{a}{X ^{2}} + \frac{b}{X} + \frac{c}{( X + 1 ) ^{2}} + \frac{d}{X + 1} .

Alors la valeur de $d$ est égale à :

- 5

5

- 3

3

Q49

Soient $(u_{n})_{n \geq 1}$ et $(v_{n})_{n \geq 1}$ deux suites adjacentes telles que :

u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} + \frac{1}{n \cdot n !} + 1.

Alors :

n \to + \infty lim v_{n}

est égale à :

1 + ln 2

1 + 2 ln 2

1 + e

1 + 2 e

Q50

Soit $G$ le groupe des éléments inversibles de l’anneau :

(Z /14 Z, +, \times) .

L’ordre de la classe de $3$ dans $(G, \times)$ est :

1

2

3

6

Q51

On définit sur $] 1, + \infty [$ une loi de composition interne $*$ par :

\forall (x, y) \in (] 1, + \infty [)^{2}, x * y = x^{l n y} .

L’ensemble de solutions de l’équation :

x * (x * exp (x)) = x * exp (x)

est :

\emptyset

{exp (1)}

{exp (2)}

{exp (3)}

Q52

Soient $E$ un $K$ -espace vectoriel, avec $K = R$ ou $C$ , et $p$ une application linéaire.

Si $p$ est un projecteur, alors $p^{2}$ est égale à :

- p

p

Id_{E}

- Id_{E}

Q53

Soit $f$ une fonction continue et strictement positive sur $] 0, + \infty [$ . Alors la fonction $F$ , définie sur $] 0, + \infty [$ par :

F (x) = \int_{1}^{x} f (t) d t

est :

strictement positive sur

] 0, 1 [

strictement négative sur

] 1, + \infty [

strictement croissante sur

] 0, + \infty [

strictement décroissante sur

] 0, 1]

Q54

Parmi les séries suivantes, laquelle converge absolument ?

\sum_{n \geq 2} \frac{( - 1 ) ^{n}}{l n n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n n}

Q55

Le système suivant :

{3 x + y - 2 z = a, x - 2 y + 4 z = 3, - 4 x + y - 2 z = - 7

admet des solutions dans $R^{3}$ pour une valeur de $a$ égale à :

4

3

2

1

Q56

On considère la fonction :

f : R^{2} \to R^{2}

définie par :

f (x, y) = (e^{x} cos y, e^{x} sin y) .

La matrice Jacobienne de la fonction $f$ est :

(e^{x} cos y e^{x} sin y e^{x} sin y e^{x} cos y)

(e^{x} cos y e^{x} sin y - e^{x} sin y e^{x} cos y)

(e^{x} sin y e^{x} cos y - e^{x} cos y e^{x} sin y)

(e^{x} cos y - e^{x} sin y e^{x} sin y e^{x} cos y)

Q57

Pour $x \in] 0, + \infty [$ , on pose :

h (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ! ( x + n )} .

On a, pour tout $x > 0$ :

x h (x) - h (x + 1) = \frac{1}{e} .

Alors un équivalent de la fonction $h$ au voisinage de $0$ est :

\frac{1}{2 x}

\frac{1}{x}

\frac{1}{e x ^{2}}

\frac{1}{x ^{2}}

Q58

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ définie sur $R$ par :

f (x) = ∣ sin x ∣

est :

∣ sin x ∣ = \frac{2}{π} - \frac{4}{π} n = 1 \sum + \infty \frac{cos ( 2 n x )}{4 n ^{2} - 1} .

Alors :

n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{4 n ^{2} - 1}

est égale à :

\frac{1}{2} - \frac{π}{3}

\frac{1}{2} - \frac{π}{8}

\frac{1}{2} - \frac{π}{6}

\frac{1}{2} - \frac{π}{4}

Q59

Soit $((E, d))$ un espace métrique compact. Soit $(f_{n})_{n \geq 0}$ une suite de fonctions continues de $E$ dans $R$ telle que :

i) la suite $(f_{n})_{n \geq 0}$ converge simplement sur $E$ vers une fonction $f$ ;

ii) $f$ est continue sur $E$ ;

iii) la suite $(f_{n})_{n \geq 0}$ est monotone.

Alors la suite $(f_{n})_{n \geq 0}$ converge uniformément sur $E$ vers la fonction $f$ selon le théorème de :

Baire

Ascoli

Dini

Stone-Weierstrass

Q60

On considère la fonction :

f :] 0, π [\to R

définie par :

f (x) = ln (1 + cos x) .

Alors, pour tout $x \in] 0, π [$ , on a :

f (x) \leq \frac{π}{2} - x

f (x) \geq \frac{π}{4} - x

f (x) \leq \frac{π}{3} - x

f (x) \geq \frac{π}{6} - x