دورة يناير 2023 — الرياضيات

مباراة ولوج سلك تأهيل أطر التدريس بالمراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين

مسلك تأهيل أساتذة التعليم الثانوي الإعدادي ومسلك تأهيل أساتذة التعليم الثانوي التأهيلي

الموضوع

بيانات الاختبار

الاختبار	اختبار في مادة أو مواد التخصص
التخصص	الرياضيات

QCM de l’examen de mathématiques — Q1 à Q100

Version corrigée avec écriture mathématique propre, validation question par question et correction détaillée.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a > b > 0$ .

ln (\frac{a + b}{4}) = \frac{1}{2} (ln a + ln b)

alors $\frac{a}{b}$ est égal :

(1 + 3)^{2}

(2 + 3)^{2}

(3 + 3)^{2}

(4 + 3)^{2}

Pour toute matrice $M$ de $M_{n} (R)$ diagonalisable, on a :

Tr (M^{2}) = 2 Tr (M)

Tr (M^{2}) = (Tr (M))^{2}

Tr (M^{2}) > Tr (M)

Tr (M^{2}) \geq 0

Soit $u$ un endomorphisme non nul de $R^{n}$ et $a \in R^{n}$ .

La différentielle de $u$ en $a$ est :

u

u (a)

a

Tr (u) \cdot I d

Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$ .

Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ , alors on a :

f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)

f (A) \cap f (B) \subset f (A \cap B)

f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)

f (A \cap B) = f (A) \cup f (B)

Soit une série entière

n \geq 1 \sum a_{n} x^{n}

de rayon de convergence égal à $1$ .

Alors cette série converge :

normalement sur

[0; 1]

uniformément sur

[0; 1]

uniformément sur

[0; 1 [

normalement sur

[0; a]

pour tout

0 \leq a < 1

La matrice réelle

M_{α} = (10 α 1)

est semblable à la matrice

(1011) .

pour tout réel

α

pour

α

non nul

seulement pour

α = 1

seulement pour

α > 0

Soit $G$ un groupe fini, de neutre $1$ , et $x$ un élément de $G$ tel que :

x^{11} \neq = 1 et x^{12} = 1.

Alors le cardinal du groupe engendré par $x$ :

12

divise

12

11

est un multiple de

12

Soit $F$ la fraction rationnelle définie par :

F (X) = \frac{X ^{4}}{( X + 1 ) ^{2} ( X - 1 )} .

La décomposition de $F (X)$ en éléments simples dans $R (X)$ est :

1 + \frac{1}{2 ( X + 1 ) ^{2}} - \frac{7}{4 ( X + 1 )} + \frac{1}{4 ( X - 1 )}

X + 1 + \frac{1}{2 ( X + 1 ) ^{2}} - \frac{7}{4 ( X + 1 )} - \frac{1}{4 ( X - 1 )}

X - 1 - \frac{1}{2 ( X + 1 ) ^{2}} + \frac{7}{4 ( X + 1 )} + \frac{1}{4 ( X - 1 )}

- 1 - \frac{1}{2 ( X + 1 ) ^{2}} + \frac{7}{4 ( X + 1 )} + \frac{1}{4 ( X - 1 )}

Soit $(a_{n})$ une suite réelle telle que :

a_{n} = O (n^{2}) .

Alors on peut dire que :

a_{n} = o (n)

\exists c \in R^{*}, a_{n} \sim c n^{2}

n = o (a_{n})

a_{n} = o (n^{3})

Q10

Soit $f$ une fonction non constante continue et convexe et bornée sur $R^{+}$ .

On a :

f

tend vers

0

+ \infty

f

admet un minimum

f

est décroissante

f

est non monotone

Q11

Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f (x) = ln (1 + x - x^{3}) .

Le développement limité de $f$ à l’ordre $2$ en $0$ est :

x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

x - \frac{x ^{2}}{2} - x^{3} + o (x^{3})

x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})

x + o (x^{2})

Q12

On considère la suite de fonctions $((f_{n})_{n \in N})$ définie sur $] - 1; 1 [$ par :

f_{n} (x) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} .

Alors $((f_{n})_{n \in N})$ converge sur $] - 1; 1 [$ :

simplement vers la fonction

f : x \mapsto \frac{1}{1 - x ^{2}}

simplement vers la fonction

f : x \mapsto \frac{1}{1 - x}

uniformément vers la fonction

f : x \mapsto \frac{1}{1 - x}

simplement vers la fonction

f : x \mapsto \frac{x}{1 - x}

Q13

Soit $r > 0$ , si

\int_{0}^{r^{2}} x f (x) d x = \frac{2}{5} r^{5}

alors

f (\frac{4}{25})

est égale à :

\frac{2}{5}

- \frac{2}{5}

\frac{2}{5}

- \frac{2}{5}

Q14

Dans l’anneau $R [X]$ , le sous-ensemble $Z [X]$ est :

un sous-groupe mais pas un sous-anneau de

R [X]

un sous-anneau de

R [X]

un idéal de

R [X]

un sous-corps de

R [X]

Q15

Soit $F$ la fonction définie sur $] 0, 1 [\cup] 1, + \infty [$ par :

F (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln t}

Alors $F^{'} (x)$ est égale à :

\frac{x - 1}{l n x}

\frac{x}{l n x}

\frac{x + 1}{l n x}

\frac{x - 2}{l n x}

Q16

Soit $f$ la fonction de $R^{2}$ dans $R$ définie par :

f (x, y) = x^{3} - y^{2} - x .

Alors la fonction $f$ admet :

un maximum local en

(- \frac{3}{3}, 0)

un minimum local en

(\frac{3}{3}, 0)

un maximum local en

(- 1, 0)

un minimum local en

(1, 0)

Q17

On considère :

e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (1, 1, 0)

dans $R^{3}$ .

Alors la famille $((e_{1}, e_{2}, e_{3}))$ est :

génératrice mais pas libre

libre mais pas génératrice

une base

ni libre, ni génératrice

Q18

Soit $((x_{i}, y_{i}))$ une série statistique double de taille $20$ telle que :

i = 1 \sum 20 x_{i} = 152

i = 1 \sum 20 y_{i} = 144

i = 1 \sum 20 x_{i} y_{i} = 1194.

La covariance de cette série statistique est égale à :

1, 5

2, 5

3

5

Q19

$R^{2}$ est muni de la base canonique :

e_{1} = (10) et e_{2} = (01) .

Les coordonnées de $2 e_{1} + e_{2}$ dans la base orthogonale

((11), (- 1 1))

de $R^{2}$ sont :

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

(3, - 1)

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

(32, - 2)

Q20

On lance $248$ fois de suite une pièce équilibrée. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’on obtient pile. Alors $Var (X)$ est égale à :

62

124

31

24

Q21

Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels. On considère l’équation $(E)$ :

x^{10} = y^{2} + 15.

Le nombre de solutions de $(E)$ est :

8

6

4

0

Q22

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $y \in E$ . La valeur de

x \neq = 0 sup \frac{∣ ⟨ x ∣ y ⟩ ∣}{∣ x ∣}

est :

+ \infty

∣ y ∣

∣ y ∣^{2}

1

Q23

La valeur de

I = \int_{π /6}^{π /3} \frac{d x}{1 + tan x}

est égale à :

\frac{π}{12}

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

Q24

Pour toute matrice $A$ de $M_{n} (R)$ , laquelle de ces relations permet de dire que $A$ est diagonalisable ?

A^{2} + A + I_{n} = 0

A^{3} = A

A^{3} = - A

(A - I_{n})^{2} = 0

Q25

Soit $φ$ l’endomorphisme de $R_{n} [X]$ défini par :

φ (P) = P (X + 1) - P (X)

pour tout $P$ . Alors $φ$ est de rang :

1

n - 1

n

n + 1

Q26

Soit $E$ un $(K)$ -espace vectoriel et $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ .

Alors :

f (ker (g \circ f))

est égale à :

Im g

ker f \cap Im g

ker g \cap Im f

ker f

Q27

L’équation de la parabole de foyer $F (0; 1)$ et de directrice $(y = - 1)$ est :

y = x^{2}

y = - x^{2}

y = 1 + x^{2}

y = \frac{1}{4} x^{2}

Q28

La limite

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{1 - cos ( x y )}{x ^{2} y}

est égale à :

0

1

2

3

Q29

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $C^{2}$ de $R$ dans $R$ .

On pose :

u (x, y) = f (x + 3 y) + g (x - 3 y) .

Alors :

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}

est égale à :

\frac{1}{3} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

\frac{1}{6} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

\frac{1}{9} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

\frac{1}{12} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

Q30

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. L’ensemble des points $M$ du plan tel que :

M A = 2 M B

est :

vide

un cercle

une droite

une ellipse

Q31

On donne dans le tableau ci-dessous la moyenne et l’écart-type d’une série statistique :

La moyenne m L’ \overset{e}{ˊ} cart-type σ 4, 2 1, 62

Si on multiplie toutes les valeurs de la série statistique par $(- 1, 5)$ , la moyenne et l’écart-type deviennent :

m^{'} = 6, 3 et σ^{'} = 2, 43

m^{'} = 6, 3 et σ^{'} = 3, 64

m^{'} = 4, 2 et σ^{'} = 1, 62

m^{'} = - 6, 3 et σ^{'} = 2, 43

Q32

Laquelle des parties suivantes de $R^{2}$ est un sous-espace vectoriel ?

{(x, y), y = 2 x}

{(x, y), y + x = 1}

{(x, y), y x = 1}

{(x, y), y x = 0}

Q33

Soit $((u_{n})_{n \geq 2})$ la suite définie par :

u_{n} = \frac{n}{1 + n ^{2}} + \frac{n}{2 ^{2} + n ^{2}} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n ^{2}} .

Alors :

n \to + \infty lim u_{n}

est égale à :

\frac{π}{4}

\frac{π}{6}

\frac{π}{8}

\frac{π}{10}

Q34

Soient $(a, b)$ et $c$ trois réels non nuls.

\int_{1}^{e} (a x^{2} + b x + c) ln x d x = \int_{1}^{2} (a x^{2} + b x + c) ln x d x,

alors le polynôme $a x^{2} + b x + c$ :

admet deux racines dans

[1; 2]

admet une racine double dans

[1; 2]

il change de signe dans

[2; e]

admet une racine double dans

[2; e]

Q35

Soit $((Ω, P))$ un espace de probabilité fini, et $E$ et $D$ deux événements tels que :

P (E) = 0, 6

P_{E} (D) = 0, 7

P_{\overline{E}} (D) = 0, 2.

Alors $P (D)$ est égale à :

0, 5

0, 4

0, 34

0, 16

Q36

On pose :

I_{a} = \int_{- a}^{a} arctan (e^{x}) d x

où $a$ est un nombre réel.

En utilisant le changement de variable $(t = - x)$ , on montre que l’intégrale $I_{a}$ est égale à :

2 π a

π a

\frac{π a}{2}

\frac{π a}{4}

Q37

Soit $((u_{n}))$ la suite définie par :

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} .

Alors :

n \geq 1 \sum u_{n}

n \geq 1 \sum u_{n}^{2}

convergent toutes les deux

n \geq 1 \sum u_{n}

n \geq 1 \sum u_{n}^{2}

divergent toutes les deux

n \geq 1 \sum u_{n}

converge et

n \geq 1 \sum u_{n}^{2}

diverge

n \geq 1 \sum u_{n}

diverge et

n \geq 1 \sum u_{n}^{2}

converge

Q38

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $λ = 1$ .

Alors la probabilité de l’évènement contraire de $(X > 1)$ est égale à :

1 - 2 e^{- 1}

1 - e^{- 1}

1 - 3 e^{- 1}

autre réponse

Q39

On considère les matrices :

J = 01 - 1 0 - 2 4 0 - 1 2

M = J + I .

Pour tout entier $n \geq 1$ , $M^{n}$ est égale à :

n J^{2} + J + I

n J^{2} + n J + I

n (n - 1) J^{2} + n J + I

\frac{1}{2} n (n - 1) J^{2} + n J + I

Q40

Pour tout entier $n \geq 2$ , l’équation

x^{n} = x + n

admet une unique solution $(u_{n} \in] 1; 2])$ .

Alors :

n \to + \infty lim u_{n}

est égale à :

2

\frac{3}{2}

1

\frac{1}{2}

Q41

Pour une série de fonctions, on a :

convergence simple

\Rightarrow

convergence absolue

convergence normale

\Rightarrow

convergence uniforme

\Rightarrow

convergence absolue

\Rightarrow

convergence normale

Q42

La variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité donnée dans le tableau ci-dessous :

x_{i} P (X = x_{i}) 3 \frac{1}{3} 5 \frac{1}{6} 6 \frac{1}{6} 12 \frac{1}{3}

La valeur de

E (\frac{1}{X})

est égale à :

0, 5

0, 4

0, 3

0, 2

Q43

Soit

f : [0; 1] \to R

continue sur $[0; 1]$ .

n \to + \infty lim \int_{0}^{1} f (x^{n}) d x

est égale à :

f (0)

f (1)

\int_{0}^{1} f (x) d x

0

Q44

Le rayon de convergence de la série entière

n \geq 1 \sum \frac{z ^{2 n}}{1 + 3 ^{2 n}}

est :

3

3

2

1

Q45

Pour $x > 0$ , on pose :

H (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin t}{t} e^{- x t} d t .

Alors $H^{'} (x)$ est égale à :

- x H (x)

- \frac{1}{1 + x ^{2}}

\frac{x}{1 + x ^{2}}

\frac{2}{1 + x ^{2}}

Q46

On a :

tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + o (x^{5}) .

La valeur de la dérivée troisième de la fonction tangente en $0$ est :

\frac{1}{3}

\frac{2}{15}

2

0

Q47

Laquelle des formes différentielles suivantes n’est pas exacte ?

ω = x d x + y d y

ω = x d x - y d y

ω = y d x + x d y

ω = y d x - x d y

Q48

La matrice réelle

A = 100 a 10 0 b 2

est diagonalisable si et seulement si :

a = 0

b = 0

a = b = 1

a = b

Q49

Soit $((f_{n})_{n \in N})$ la suite de fonctions définie sur $R_{+}^{*}$ par :

f_{n} (x) = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}} .

Alors la suite $((f_{n}))$ :

ne converge pas simplement sur

R_{+}^{*}

converge simplement mais non uniformément sur

R_{+}^{*}

converge uniformément mais non simplement sur

R_{+}^{*}

converge simplement et uniformément sur

R_{+}^{*}

Q50

Soit $R$ une rotation d’un plan euclidien orienté d’angle $θ$ et $x$ un vecteur de norme $1$ .

Le produit scalaire

⟨ x ∣ R (x)⟩

vaut :

1

cos θ

sin θ

\pm cos θ

Q51

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre :

p = \frac{2}{3} .

Alors

V (2 X + 3)

est égale à :

1

2

3

autre réponse

Q52

Pour tout $n \in N$ , on pose :

I_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} x, d x .

Alors

I_{n} + I_{n + 2}

est égale à :

\frac{2}{n + 2}

\frac{3}{n + 3}

\frac{1}{n + 1}

\frac{4}{n + 4}

Q53

La valeur de l’intégrale

\iint_{R} x cos (x + y), d x, d y

où $R$ est la région triangulaire de sommets :

(0, 0), (π, 0), (π, π)

est égale à :

\frac{3 π}{2}

\frac{3 π}{4}

- \frac{3 π}{2}

- \frac{3 π}{4}

Q54

La suite

k = 1 \sum n sin (\frac{1}{k})

est équivalente à :

n

\frac{1}{n}

ln (n)

n sin (\frac{1}{n})

Q55

Dans l’anneau $Z /12 Z$ , le nombre d’éléments vérifiant :

x^{3} = 1

est :

1

2

4

6

Q56

Dans la base canonique du plan euclidien $R^{2}$ , la matrice de la rotation d’angle $\frac{π}{3}$ est :

(1 - 3 31)

\frac{1}{2} (13 3 - 1)

\frac{1}{2} (13 - 3 1)

\frac{1}{2} (- 1 3 31)

Q57

Soient $n \in N^{*}$ et $f$ une fonction définie sur $R$ par :

f (x) = (1 + x) (1 + 2 x) \dots (1 + n x) .

Alors $f^{'} (0)$ est égale à :

1

n + 1

\frac{n ( n + 1 )}{2}

n!

Q58

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{n}$ de rang $p$ .

Le degré du polynôme minimal de $f$ est inférieur à :

p

p + 1

n - p

n - p + 1

Q59

Le nombre de diviseurs de $1 0^{n}$ dans $N^{*}$ est :

n

n + 1

n^{2}

(n + 1)^{2}

Q60

Soit $f$ une fonction paire et $a$ un nombre réel. On pose :

H = \int_{0}^{a} f (x), d x .

Alors

\int_{- a}^{a} \frac{f ( x )}{1 + e ^{x}}, d x

est égale à :

H

2 H

H + 2

H + 1

Q61

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres :

n = 20

p = \frac{3}{5} .

Soit $p$ la probabilité de l’événement $(X \geq 1)$ . Alors :

0,8 < p <= 1

0,6 < p <= 0,8

0,4 < p <= 0,6

0,2 < p <= 0,4

Q62

La valeur de :

\int_{0}^{1} \frac{e ^{2 x}}{1 + x}, d x / \int_{1}^{e} \frac{x}{1 + ln x}, d x

est égale à :

1 + e

e - 1

1

0

Q63

La caractéristique de l’anneau produit :

A = (Z /6 Z) \times (Z /10 Z)

est :

2

10

30

60

Q64

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_{n} (R)$ . Les matrices $A B$ et $B A$ ont toujours même :

rang

trace

diagonale

transposée

Q65

Le sous-groupe du groupe $(Z /12 Z, +)$ , engendré par la classe de $9$ , est isomorphe à :

Z /3 Z

Z /4 Z

Z /9 Z

Z /12 Z

Q66

Soit $α \in R$ . La matrice

(12 2 α)

est définie positive :

pour tout réel

α

pour

α

non nul

seulement pour

α = 5

seulement pour

α > 4

Q67

$N_{1}$ et $N_{2}$ sont deux normes sur un espace vectoriel réel $E$ .

Laquelle des applications suivantes n’est pas une norme ?

2 N_{1}

N_{1} + N_{2}

max (N_{1}, N_{2})

N_{1} N_{2}

Q68

Soit $X$ une partie ouverte d’un espace vectoriel réel normé $E$ .

À toute suite $((x_{n}))$ à termes dans $E$ , qui converge vers un vecteur $a$ , on considère les deux propositions suivantes :

P : Il existe un rang N tel que x_{n} \in X pour tout n \geq N

Q : a \in X

Alors :

P \Rightarrow Q

Q \Rightarrow P

P ⟺ Q

Il n’y a aucune implication entre

P

Q

Q69

Soient les trois normes :

∥ x ∥_{1} = i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣, ∥ x ∥_{\infty} = 1 \leq i \leq n max ∣ x_{i} ∣

∥ x ∥_{2} = i = 1 \sum n x_{i}^{2}

définies sur $R^{n}$ . Pour tout $x \in R^{n}$ , on a :

∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{2}

∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{1} \leq n ∥ x ∥_{\infty}

∥ x ∥_{1} \leq ∥ x ∥_{2} \leq ∥ x ∥_{\infty} \leq n ∥ x ∥_{1}

∥ x ∥_{\infty} \leq ∥ x ∥_{1} \leq ∥ x ∥_{2} \leq n ∥ x ∥_{\infty}

Q70

Soit $f$ l’application définie de $R^{3}$ vers $R$ par :

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + x z .

Alors sa différentielle $(d f_{a})$ au point :

a = (1, 0, - 1)

est l’application linéaire qui, à chaque vecteur $((p, q, r) \in R^{3})$ , associe :

d f_{a} (p, q, r) = p + q + r

d f_{a} (p, q, r) = q + r

d f_{a} (p, q, r) = p + r

d f_{a} (p, q, r) = p - r

Q71

En inversant l’ordre d’intégration, l’intégrale

\int_{1}^{4} \int_{1}^{x} f (x, y), d y, d x

se transforme en :

\int_{1}^{y} \int_{1}^{4} f (x, y), d x, d y

\int_{1}^{2} \int_{0}^{y^{2}} f (x, y), d x, d y

\int_{1}^{y} \int_{1}^{2} f (x, y), d x, d y

\int_{1}^{2} \int_{y^{2}}^{4} f (x, y), d x, d y

Q72

L’intégrale

\int_{- 2}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} e^{x^{2} + y^{2}}, d y, d x

est égale à :

\frac{π}{2} (e^{4} - 1)

π e^{4}

\frac{π}{4} e^{4}

2 π (e^{4} - 1)

Q73

$(u, v, w)$ est un nouveau système de coordonnées défini par :

x = 2 u cos v, y = 3 u sin v, z = 5 w

avec :

u \geq 0, 0 \leq v < 2 π

et $w$ un élément arbitraire.

Le jacobien

J (u, v, w) = \frac{\partial ( x , y , z )}{\partial ( u , v , w )}

est égal à :

\frac{30 u c o s v s i n v}{v}

30 u

10 u

10 v

Q74

Le champ de vecteurs

F (x, y) = (6 x sin y, 3 x^{2} cos y)

n’admet pas ou admet quel potentiel ?

φ (x, y) = (3 x^{2} sin y, 3 cos x y)

φ (x, y) = 18 cos x sin y

φ (x, y) = 3 x^{2} sin y + C (y)

Il n’admet pas de potentiel

Q75

Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

F (x, y) = (y e^{x y}, x e^{x y})

n’est pas conservatif

F (x, y) = (6 x^{2} y, 2 x^{3} - 2 y)

n’est pas conservatif

F (x, y) = (y, x)

n’est pas conservatif

Tous ces champs sont conservatifs

Q76

Le nombre de parties de ${1, 2, \dots, n}$ qui ne contient pas $1$ est :

2^{n} - 1

2^{n - 1}

2^{n} - n

2^{n} + 1

Q77

Le flux sortant du champ

F (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x)

à travers la surface du cube

[- 1, 1]^{3}

est :

1

3

8

24

Q78

Le nombre de topologies qu’on peut définir sur l’ensemble

X = {a, b}

est :

1

2

3

4

Q79

Laquelle des propriétés suivantes n’est pas une propriété topologique ?

Être fermée

Être bornée

Être connexe

Être ouverte

Q80

Le diamètre d’une partie $A$ d’un espace métrique est égal à :

sup {d (x, y) ∣ (x, y) \in A^{2}}

max {d (x, y) ∣ (x, y) \in A^{2}}

in f {d (x, y) ∣ (x, y) \in A^{2}}

min {d (x, y) ∣ (x, y) \in A^{2}}

Q81

Quelle relation y a-t-il entre une partie $A$ d’un espace métrique, sa frontière $Fr (A)$ et son adhérence $\overline{A}$ ?

\overline{A} = A \cap Fr (A)

\overline{A} = A \cup Fr (A)

\overline{A} = A ∖ Fr (A)

\overline{A} = A

Q82

$((X, τ))$ dénote un espace topologique. On prend :

X = {a, b, c} .

Lequel des ensembles suivants ne définit pas une topologie sur $X$ ?

τ_{1} = {\emptyset, X}

τ_{2} = {\emptyset, X, {a}}

τ_{3} = {\emptyset, X, {a}, {a, b}}

τ_{4} = {\emptyset, X, {a}, {a, b}, {b, c}}

Q83

Parmi les matrices de $M_{2} (R)$ suivantes, laquelle n’est pas diagonalisable ?

(2012)

(01 - 1 0)

(2112)

(0 - 1 12)

Q84

Soit $((X, τ))$ un espace topologique. Lequel des ensembles suivants est une base pour la topologie $(τ)$ ?

{{x}; x \in X}

{X}

{X, \emptyset}

Aucun

Q85

Le sous-groupe de $((C^{*}, \times))$ engendré par $({i})$ est :

{a + bi ∣ (a, b) \in Z^{2}}

{1, - 1, i, - i}

{a + bi ∣ (a, b) \in Q^{2}}

C^{*}

Q86

Un des ensembles suivants n’est pas un groupe pour la composition des applications, lequel ?

L’ensemble des bijections de

([- 1, 1])

sur

([- 1, 1])

L’ensemble des bijections continues de

([- 1, 1])

sur

([- 1, 1])

L’ensemble des bijections croissantes de

([- 1, 1])

sur

([- 1, 1])

L’ensemble des bijections de classe

(C^{1})

([- 1, 1])

sur

([- 1, 1])

Q87

$(I)$ et $(J)$ sont deux idéaux d’un anneau commutatif unitaire $(A)$ , et $(a)$ est un élément de $(A)$ .

Lequel des ensembles suivants n’est pas toujours un idéal de $(A)$ ?

I \cap J

I + J = {x + y ∣ x \in I, y \in J}

I \cup J

a I = {a x ∣ x \in I}

Q88

Dans le groupe symétrique $(S_{5})$ , combien y a-t-il d’éléments qui engendrent un sous-groupe de cardinal $(2)$ ?

10

25

40

60

Q89

Lequel des ensembles suivants est un sous-groupe du groupe linéaire $((G L_{2} (R), \times))$ ?

L’ensemble des matrices inversibles à coefficients dans

(Z)

L’ensemble des matrices à coefficients dans

(Z)

de déterminant

(1)

L’ensemble des matrices de déterminant négatif

L’ensemble des matrices

(A)

vérifiant :

A^{2} = I_{2}

Q90

Lequel des groupes additifs suivants a le plus de générateurs ?

(Z /12 Z, +)

(Z /13 Z, +)

(Z /14 Z, +)

(Z /15 Z, +)

Q91

Un corps commutatif :

ne possède aucun idéal

possède un seul idéal

possède deux idéaux

possède une infinité d’idéaux

Q92

Laquelle des familles suivantes n’est pas une base de $R [X]$ ?

((X + p)^{p})_{p \in N}

(X^{p} + p)_{p \in N}

(X + X^{p})_{p \in N}

((X^{p} + p)^{p})_{p \in N}

Q93

Le rang de l’endomorphisme $u$ du $(R)$ -espace vectoriel $M_{n} (R)$ défini par :

u (M) = M +^{t} M

est :

n

\frac{n ( n + 1 )}{2}

\frac{n ( n - 1 )}{2}

n + 1

Q94

Dans $R [X]$ , lequel des ensembles suivants est un sous-espace vectoriel et admet un supplémentaire de dimension finie ?

{P (X^{2}) ∣ P \in R [X]}

{P \in R [X] ∣ \int_{0}^{1} P (x) d x = 1}

{X^{2} P (X) ∣ P \in R [X]}

{P (X) ∣ P admet exactement deux racines}

Q95

Soit $M \in M_{2 n} (R)$ de la forme :

M = (A 0 B A)

où $A$ et $B$ sont des éléments de $M_{n} (R)$ . Que vaut $M^{2}$ ?

(A^{2} 0 B^{2} A^{2})

(A B 0 B A A^{2})

(A^{2} 0 2 A B A^{2})

(A^{2} 0 A B + B A A^{2})

Q96

Soit $F$ , respectivement $G$ , l’ensemble des matrices triangulaires supérieures, respectivement l’ensemble des matrices triangulaires inférieures de $M_{n} (R)$ . Alors :

M_{n} (R) est la somme directe de F et G

M_{n} (R) est la somme non directe de F et G

M_{n} (R) n’est pas la somme de F et G

F et G ne sont pas des sous-espaces de M_{n} (R)

Q97

Soit la forme quadratique sur $R^{3}$ définie par :

q (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 9 x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3} .

Alors :

signature (q) = (3, 0) et rang (q) = 3

signature (q) = (0, 3) et rang (q) = 3

signature (q) = (1, 2) et rang (q) = 3

signature (q) = (- 3, 0) et rang (q) = 3

Q98

Soit $φ$ la forme bilinéaire symétrique définie sur $R_{2} [X]$ par :

φ (P, Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t

pour tout $((P, Q) \in (R_{2} [X])^{2})$ . Alors :

φ est un produit scalaire

φ est d \overset{e}{ˊ} finie n \overset{e}{ˊ} gative

φ est d \overset{e}{ˊ} g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} e et la dimension de son noyau est 1

φ est d \overset{e}{ˊ} g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} r \overset{e}{ˊ} e et la dimension de son noyau est 2

Q99

Soit la forme quadratique définie sur $R^{4}$ par :

q (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1} x_{2} - x_{3} x_{4}

et soit $H$ un hyperplan de $R^{4}$ . La dimension de l’orthogonal de $H$ est :

1

2

3

4

Q100

Soit la forme quadratique sur $R^{2}$ définie par :

q (x_{1}, x_{2}) = 3 x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} .

Sa matrice dans la base canonique est :

(31 1 - 2)

(\frac{3}{2} 2 2 - 1)

(\frac{3}{2} 1 1 - 1)

\frac{3}{2} 1 1 - \frac{1}{2}