دورة نونبر 2020 — الرياضيات

مباراة ولوج سلك أطر التدريس بالمراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين

مسلك التعليم الثانوي الإعدادي

دورة نونبر 2020

الموضوع

العودة إلى صفحة annales

الاختبار

اختبار في مادة أو مواد التخصص

التخصص

الرياضيات

دورة نونبر 2020 — الرياضيات

Nombre de questions : 20

0 / 20réponses choisies

Score : 0 / 20

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :

a^{5} = 2021 - 2020 et b^{5} = 2021 + 2020 .

La valeur du nombre

\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}

est :

Alors :

Dans la figure ci-contre, $(A B C)$ est un triangle et $P$ un point du segment $[B C]$ différent des points $B$ et $C$ , et $D$ un point quelconque du segment $[A P]$ différent des points $A$ et $P$ .

Figure Q2 avec le triangle ABC, le point P sur BC et le point D sur AP

On pose $S$ l’aire du triangle $A D C$ et $S^{'}$ l’aire du triangle $A D B$ .

On montre que :

Alors :

$(A B C D)$ est un trapèze tel que :

(A B) // (C D) .

On pose :

A B = a et C D = b

avec :

a < b .

On suppose que :

A D C + B C D = 9 0^{\circ} .

Soient $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[A B]$ et $[C D]$ , alors :

Alors :

Soit $k$ un nombre réel. On considère dans le plan les points $A$ , $B$ , $C$ et $G$ tels que :

3 C G = k C A + 2 C B .

La valeur de $c$ pour laquelle le point $G$ est barycentre du système pondéré

{(A, k); (B, 2); (C, c)}

est :

Alors :

On considère la suite numérique $(X_{n})$ définie par :

X_{0} = 3

X_{n + 1} = \frac{X _{n}}{2 X _{n} - 1}

pour tout $n \in N$ .

$(X_{n})$ est périodique de période :

Alors :

$a$ et $b$ sont deux réels tels que :

sin a + sin b = \frac{2}{2}

cos a + cos b = \frac{6}{2} .

On montre que :

Alors :

La fonction $f$ à variable réelle définie par

f (x) = x^{2} sin (\frac{1}{x}) si x \neq = 0

f (0) = 0

vérifie :

Alors :

On montre que pour tout réel $x$ :

Alors :

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$ par :

f (x) = a x^{2} + b x + c; a \in R^{*}, (b, c) \in R^{2}

g (x) = f (x) + f^{'} (x) + f^{''} (x) .

On suppose que :

(\forall x \in R); f (x) > 0.

On montre que :

Alors :

Soit $ω \in C$ tel que :

∣ ω ∣ = 2 .

On note $α$ et $β$ les solutions de l’équation :

z^{2} + i (ω + i \overline{ω}) z - 2 i = 0.

On a :

Q10

Alors :

On pose, pour tout réel $x$ ,

f (x) = 2 x - E (x)

où $E (x)$ est la partie entière de $x$ .

L’intégrale

\int_{- 1}^{2} f (x) d x

est égale à :

Q11

Alors :

La valeur de

\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{3}}

est égale à :

Q12

Alors :

Sachant que les devoirs de $4$ élèves peuvent être corrigés par un ou plusieurs enseignants parmi $7$ enseignants, la probabilité que ces $4$ devoirs soient corrigés par exactement $2$ enseignants est :

Q13

Alors :

On considère la fonction $F$ de la variable réelle $x$ définie par :

F (x) = \int_{x^{3}}^{x^{4}} e^{t^{2}} d t .

La dérivée première $F^{'} (x)$ est égale à :

Q14

Alors :

La valeur de

α = (0, 64)^{β}

où

β = lo g_{\frac{1}{4}} (k = 1 \sum + \infty \frac{1}{3 ^{k}})

est égale à :

Q15

Alors :

On considère l’équation différentielle :

(E) : 4 y^{''} + y = 0.

La solution $h$ de l’équation $(E)$ vérifiant

h (0) = 1

h^{'} (0) = \frac{1}{2}

est :

Q16

Alors :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

La transformation plane dont l’écriture complexe est :

z^{'} = - j z + 1

avec

j = e^{\frac{2 iπ}{3}},

est :

Q17

Alors :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé.

On considère la sphère $(S)$ d’équation cartésienne :

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 2 y - 1 = 0.

L’équation du plan tangent à la sphère $(S)$ au point

A (- 1; 1; 1)

est :

Q18

Alors :

Une entreprise utilise conjointement deux machines $A$ et $B$ pour contrôler la qualité des masques de protection contre la pandémie Covid19.

Selon les concepteurs de ces machines, la probabilité que la machine $A$ tombe en panne est $0, 03$ .

De plus, la probabilité que « la machine $B$ tombe en panne sachant que la machine $A$ est en panne » est égale à $0, 2$ .

La probabilité que les deux machines tombent simultanément en panne est :

Q19

Alors :

La série

n \in N \sum \frac{1}{2 ^{n} n !}

converge vers :

Q20

Alors :