دورة نونبر 2022 — الرياضيات

مباراة ولوج سلك أطر التدريس بالمراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين

مسلك التعليم الثانوي الإعدادي

دورة نونبر 2022

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الاختبار

اختبار في مادة أو مواد التخصص

التخصص

الرياضيات

مدة الإنجاز

أربع ساعات

المعامل

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1, + \infty [$ , telle que $f$ est dérivable sur $[1, + \infty [$ et

x \to + \infty lim f^{'} (x) = 2.

Alors,

x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}

est égale à :

0

1

2

+ \infty

On considère la matrice

M = 120111213 .

Le spectre de la matrice $M$ est :

{0, 1}

{0, 4}

{0, 1, 4}

{1, 4, 5}

La série

n \geq 1 \sum ln (\frac{n ^{2} + 2 n}{( n + 1 ) ^{2}})

converge et a pour somme :

- ln 2

- ln 3

ln 2

ln 3

On pose :

J = \int_{0}^{l n 2} (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}})^{2} d x .

La valeur de $J$ est égale à :

\frac{5}{3} + ln 2

\frac{3}{5} - ln 2

\frac{5}{3} \times ln 2

\frac{3}{5} + ln 2

La transformation géométrique de représentation complexe

f : z ⟼ 2 i z + 1

est :

une rotation de centre d’affixe

(1 + 2 i)

et d’angle

\frac{π}{2}

une homothétie de rapport

2

et de centre d’affixe

(1 + 2 i)

la composée d’une symétrie centrale et d’une homothétie

la composée d’une rotation et d’une homothétie

Soient $E$ et $F$ deux événements liés à une même expérience aléatoire.

La probabilité de l’événement « Un seul de ces deux événements se produit » est :

P (E \cap \overline{F}) + P (\overline{E} \cap F)

1 - P (E \cup F)

P (E \cap \overline{F})

P (\overline{E} \cap F)

Soit $M \in M_{3} (R)$ . Alors on a :

M

est diagonalisable dans

R

, alors toutes ses valeurs propres sont distinctes.

M

est triangulaire, alors toutes ses valeurs propres sont réelles.

M

est symétrique, alors toutes ses valeurs propres sont distinctes.

M

admet au moins deux valeurs propres réelles distinctes, alors

M

est diagonalisable dans

R

Soit

a \in] 0, + \infty [et b \in] 1, + \infty [.

Le rayon de convergence de la série entière

n \geq 1 \sum \frac{a ^{n}}{1 + b ^{n}} z^{n}

est :

\frac{a}{b}

\frac{b}{a}

\frac{a}{b}

\frac{b}{a}

On considère la matrice

M = (- 1 1 - 2 1) .

Alors $M^{2025}$ est égale à :

- M

M

I

- I

Q10

La décomposition de

F (X) = \frac{X ^{2} + 1}{( X - 1 ) ( X - 2 ) ( X - 3 )}

en éléments simples dans $R [X]$ est :

\frac{5}{X - 1} + \frac{1}{X - 2} - \frac{5}{X - 3}

\frac{1}{X - 1} + \frac{5}{X - 2} - \frac{5}{X - 3}

- \frac{1}{X - 1} + \frac{1}{X - 2} + \frac{5}{X - 3}

\frac{1}{X - 1} - \frac{5}{X - 2} + \frac{5}{X - 3}

Q11

On pose

G = {(x x x x) \in M_{2} (R), x \in R} .

Alors $((G, \times))$ est un groupe d’élément neutre :

(1001)

(1111)

(- 1 - 1 - 1 - 1)

Autre réponse

Q12

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O; i; j; k) .

Les coordonnées du symétrique du point $M (0, 0, 1)$ par rapport au plan

(P) : 2 x + y - 2 z - 7 = 0

sont :

(0,3,-2)

(2,1,-1)

(4,2,-3)

(2,2,1)

Q13

Soit $f$ une fonction continue sur $R$ . On considère les propositions suivantes :

A : « f est strictement positive »,

B : « f tend vers 0 en + \infty »,

C : « f est strictement d \overset{e}{ˊ} croissante sur R » .

Alors :

(A et B) \Rightarrow C

(A et C) \Rightarrow B

(B et C) \Rightarrow A

\overline{B} \Rightarrow (A et \overline{C})

Q14

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :

\frac{ln ( 1 + x )}{x} = \frac{a ln ( x )}{x} + \frac{b}{x ^{2}} + o (\frac{1}{x ^{2}}) .

Lorsque $x \to + \infty$ , $a + b$ est égal à :

- 1

0

1

Autre réponse

Q15

Soit $φ$ l’application de $M_{n} (R)$ dans $M_{n} (R)$ , définie par :

φ (M) = M +^{t} M .

Le rang de $φ$ est :

n

\frac{n ( n + 1 )}{2}

\frac{n ( n - 1 )}{2}

Autre réponse

Q16

La limite

x \to 0 lim \frac{x tan ( 2 x ) - 2 x tan x}{( 1 - cos ( 2 x ) ) ^{2}}

est égale à :

2

- 2

\frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Q17

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois parties non vides d’un ensemble $E$ .

L’ensemble

\overline{[(A \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{C})]} \cap \overline{A}

est égal à :

E

A \cap B

A \cap C

B \cup C

Q18

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs d’un espace préhilbertien réel.

On a :

∣ u + v ∣ = ∣ u ∣ + ∣ v ∣

si et seulement si $u$ et $v$ sont :

liés de même sens

liés de sens contraire

orthogonaux

autre réponse

Q19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $R$ par

f (x) = sin (x) ln (1 + x) .

La formule de Taylor-Young à l’ordre $3$ en $0$ de $f$ est :

x^{2} - \frac{x ^{3}}{2} + x^{3} ε (x), lim_{x \to 0} ε (x) = 0

x^{2} + \frac{x ^{3}}{6} + x^{3} ε (x), lim_{x \to 0} ε (x) = 0

- x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} + x^{3} ε (x), lim_{x \to 0} ε (x) = 0

x - \frac{x ^{3}}{2} + x^{3} ε (x), lim_{x \to 0} ε (x) = 0

Q20

Soit $A \in G L_{n} (R)$ . Si $A$ est semblable à son inverse, alors :

Tr (A) = 0

∣ det A ∣ = 1

A^{2} = I_{n}

autre réponse

Q21

Sachant que :

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6},

la valeur de

n \geq 1 \sum \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}}

est :

\frac{π ^{2}}{12}

\frac{π ^{2}}{10}

\frac{π ^{2}}{8}

\frac{π ^{2}}{3}

Q22

Soit $φ$ un endomorphisme de $R^{n}$ de rang $p$ .

Le degré du polynôme minimal de $φ$ est inférieur à :

p

p + 1

n - p

n - p + 1

Q23

Que vaut :

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{sin ( x ^{2} ) + 2 sin ( y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} ?

3

2

4

autre réponse

Q24

On considère sur $R^{2}$ la forme différentielle :

ω = x d y - y d x .

Soient les points

A (- 1, 0), B (1, 0), C (0, 1),

et $Γ$ le triangle direct $(A B C)$ .

L’intégrale

\int_{Γ} ω

est :

- 1

0

1

2

Q25

Le reste de la division euclidienne de :

123 4^{4321} + 432 1^{1234}

par $7$ est :

2

3

4

5

Q26

Soit $z$ un nombre complexe non réel tel que :

\frac{1 + z + z ^{2}}{1 - z + z ^{2}} \in R .

Alors $∣ z ∣$ est égal à :

1

2

3

4

Q27

Soit $(C)$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[- 1, 2]$ .

Si :

g (x) = \frac{f ( x )}{x ^{2}},

alors $g^{'} (1)$ est égal à :

Courbe représentative de la fonction f pour la question Q27

- 4

- 2

2

+ 4

Q28

Dans un groupe $((G, \times))$ , l’inverse de $x y z$ est :

x^{- 1} y^{- 1} z^{- 1}

z^{- 1} y^{- 1} x^{- 1}

x^{- 1} z^{- 1} y^{- 1}

x y z

Q29

Le nombre de polynômes à coefficients entiers qui vérifient :

P (5) = 18 et P (8) = 25

est :

4

3

2

0

Q30

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1, + \infty [$ par :

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{ln ( t )}{1 + t} d t .

Pour tout $x \in [1, + \infty [$ ,

f (x) + f (\frac{1}{x})

est égal à :

ln^{2} x

\frac{l n ^{2} x}{2}

\frac{l n ^{2} x}{4}

\frac{l n ^{2} x}{3}

Q31

On considère la fonction $f$ définie sur $R^{2}$ par :

f (x, y) = 3 x y - x^{3} - y^{3} .

Alors la fonction $f$ admet un :

minimum local en

(0, 0)

maximum local en

(0, 0)

maximum local en

(1, 1)

minimum local en

(1, 1)

Q32

Soit la fonction :

f : M_{2} (R) ⟶ R

définie par :

f (M) = det M .

On pose :

A = (12 - 1 - 1)

et :

H = (2110) .

Alors $(d f_{A} (H))$ est égal à :

- 3

- 2

- 1

0

Q33

On donne les statistiques suivantes pour les prix d’un sachet de chocolat, en DH :

Magasin $P$ : moyenne $10, 83$ , écart-type $0, 02$ .

Magasin $Q$ : moyenne $12, 72$ , écart-type $0, 12$ .

Alors :

Dans le magasin

P

50%

des sachets de chocolats sont vendus avec moins de

10, 83

DH.

Les prix des sachets de chocolats sont plus dispersés dans le magasin

Q

que dans le magasin

P

Dans le magasin

Q

75%

des sachets de chocolats sont vendus avec moins de

12, 72

DH.

Dans le magasin

Q

, le prix d’un sachet de chocolat est environ

13

DH.

Q34

$G L_{n} (R)$ étant le groupe des matrices inversibles dans $M_{n} (R)$ , on a :

G L_{n} (R)

est un fermé dense de

M_{n} (R)

G L_{n} (R)

est un fermé non dense de

M_{n} (R)

G L_{n} (R)

est un ouvert non dense de

M_{n} (R)

G L_{n} (R)

est un ouvert dense de

M_{n} (R)

Q35

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs non colinéaires.

Si :

∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1

et :

\frac{u + v}{2} + u \land v = 1,

alors :

∣ u \land v ∣ = ∣ u + v ∣

∣ u \land v ∣ = \frac{u - v}{2}

∣ u \land v ∣ = ∣ u + 2 v ∣

∣ u \land v ∣ = \frac{u + v}{2}

Q36

Soit la fonction :

f : M_{2} (R) ⟶ M_{2} (R)

définie par :

f (M) = M^{2} .

On pose :

A = (32 1 - 1) et H = (0 - 2 11) .

Alors $d f_{A} (H)$ est égal à :

(2 - 3 20)

(- 2 3 20)

(0 - 2 3 - 2)

(02 - 3 - 2)

Q37

Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie non vide de $E$ .

On définit une relation d’équivalence $R$ sur $P (E)$ par :

X R Y ⟺ X \cup A = Y \cup A .

La classe d’équivalence de $X \in P (E)$ est :

{(X ∖ A) \cup B ∣ B \in P (A)}

{(X ∖ B) \cup A ∣ B \in P (E)}

{X \cup B ∣ B \in P (A)}

{X}

Q38

Soit la forme quadratique :

q : R^{3} ⟶ R

définie par :

q (x, y, z) = - 4 x z - y^{2} + 3 x^{2} .

La forme polaire $φ$ de $q$ est définie, pour

u = (a, b, c) et v = (x, y, z),

par :

φ (u, v) = 2 a z + 2 x c - 2 b y + a x

φ (u, v) = - 2 a z - 2 x c - b y + 3 a x

φ (u, v) = - 2 a z - 2 x c - x y + 3 ab

φ (u, v) = 2 a z - 2 x c - b y + a x

Q39

$E$ est un espace préhilbertien réel. Soit $u$ un vecteur non nul de $E$ , et $P$ l’hyperplan orthogonal à $u$ .

Si $x$ est un vecteur de $E$ , alors le projeté orthogonal de $x$ sur $P$ est :

⟨ x, u ⟩ u

\frac{⟨ x , u ⟩}{∣ u ∣ ^{2}} u

x - ⟨ x, u ⟩ u

x - \frac{⟨ x , u ⟩}{∣ u ∣ ^{2}} u

Q40

On lance $128$ fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$ .

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’on obtient la face portant le nombre $3$ . Alors $X$ suit la loi :

géométrique de variance

12

binomiale de variance

24

géométrique de variance

16

binomiale de variance

32

Q41

Soit $G$ un groupe cyclique d’ordre $n$ , engendré par $x$ .

Les éléments $x^{2}$ et $x^{3}$ engendrent le même sous-groupe de $G$ lorsque :

n

est impair

n

est pair

n

est premier avec

6

n

est un multiple de

6

Q42

Soit $E$ un espace vectoriel dans lequel toute famille de trois vecteurs est liée. Alors :

E

est forcément de dimension finie et

dim E \leq 3

E

est forcément de dimension finie et

dim E \leq 2

E

est forcément de dimension finie et

dim E \geq 3

autre réponse

Q43

Dans $R$ , on ne peut pas trouver de partie à la fois dense et :

ouverte

fermée

bornée

de complémentaire dense

Q44

Soit $f$ une fonction continue et bijective de $R$ dans $R$ , et $A$ une partie de $R$ . Alors :

A

dense

\Rightarrow f (A)

dense, et la réciproque est fausse

f (A)

dense

\Rightarrow A

dense, et la réciproque est fausse

A

dense

⟺ f (A)

dense

autre réponse

Q45

Soit $A$ une partie non vide de $R^{n}$ , avec :

A \neq = R^{n} .

Alors $A$ ne peut pas être à la fois :

ouverte et fermée

ouverte et compacte

fermée et compacte

ouverte et bornée

Q46

Soient $u$ , $v$ et $ω$ trois vecteurs tels que :

∣ u ∣ = ∣ v ∣ = 1,

∣ u + v ∣ = 3,

et :

ω - u - 2 v = 3 (u \land v) .

La valeur de $ω \cdot v$ est :

\frac{11}{2}

\frac{9}{2}

\frac{7}{2}

\frac{5}{2}

Q47

Soit $A$ une matrice de $M_{n} (R)$ .

Laquelle de ces relations permet de dire que $A$ est diagonalisable ?

A^{2} + A + I_{n} = 0

A^{3} = A

A^{3} = - A

(A - I_{n})^{2} = 0

Q48

Soit $ζ$ le cercle unité de $R^{2}$ . Si $f$ est une fonction continue de $ζ$ dans $Z$ , alors $f$ est constante car :

ζ

est compact

ζ

est connexe par arcs

ζ

est dense

ζ

est complet

Q49

Quels groupes sont isomorphes ?

(C, +) et (C^{*}, \times)

(R, +) et (R^{*}, \times)

(Z, +) et (Q, +)

(Z, +) et (2 Z, +)

Q50

On considère l’hyperbole $(H)$ d’équation :

\frac{x ^{2}}{4} - (y - 2)^{2} = 1.

Les équations des asymptotes de $(H)$ sont :

y = \frac{x}{2} - 2 et y = - \frac{x}{2} - 2

y = \frac{x}{2} + 2 et y = - \frac{x}{2} + 2

y = 2 x - 1 et y = - 2 x + 1

y = 2 x + 1 et y = - 2 x - 1

Q51

Si $φ$ est un endomorphisme d’un espace vectoriel, on a toujours :

ker φ \subset ker φ^{2}

ker φ^{2} \subset ker φ

ker φ = ker φ^{2}

ker φ \cap ker φ^{2} = {0}

Q52

La série de fonctions :

n \geq 1 \sum n^{α} e^{- n x}

converge normalement sur $R_{+}^{*}$ pour :

α < 1

α < 0

α < - 1

pour tout α \in R

Q53

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{3}$ tel que :

f^{2} \neq = 0 et f^{3} = 0.

Le rang de $f^{2}$ est égal à :

1

2

3

autre réponse

Q54

On considère la fonction $f$ définie par :

f (x, y) = {1 + e^{x} ln (1 + x - 3 y), (x, y) \neq = (0, 0), [2 mm] 1, (x, y) = (0, 0) .

Alors :

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) + \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0)

est égal à :

- 2

- 1

1

autre réponse

Q55

Soit $x \in] - 1, 1 [$ . La somme de la série entière :

n = 1 \sum + \infty (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n}

vaut :

- \frac{l n ( 1 + x )}{1 - x}

\frac{l n ( 1 - x )}{1 - x}

- \frac{l n ( 1 - x )}{1 - x}

autre réponse

Q56

On considère la série statistique suivante :

Une valeur approximative du coefficient de variation est :

La valeur	0	1	2	3	4
Effectif	10	18	24	8	15

0, 24

0, 64

0, 84

autre réponse

Q57

Soit $((u_{n})_{n \geq 2})$ la suite définie par :

u_{n} = \frac{1}{1 - n ^{2}} + \frac{2}{1 - n ^{2}} + \dots + \frac{n}{1 - n ^{2}} .

Alors :

n \to + \infty lim u_{n}

est égale à :

0

- \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

Q58

On note par $(C_{n} (f))_{n \in Z}$ la suite des coefficients de Fourier.

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2 π$ -périodiques de $R$ dans $C$ , telles que :

\forall n \in Z, C_{n} (f) = C_{n} (g),

alors :

f = g

par le théorème de Parseval

f = g

par le théorème de Dirichlet

f = g

par définition des séries de Fourier

On n’a pas nécessairement

f = g

Q59

Soit $F$ la fonction définie par :

F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{x} + cos t} .

Le domaine de définition de $F$ est :

[0, + \infty [

] 0, + \infty [

] 1, + \infty [

] \frac{π}{2}, + \infty [

Q60

Soit $n$ un entier naturel tel que :

1 \leq n \leq 61.

Si :

n \equiv (30!)^{2} + 71 (mod 61),

alors $n$ est égal à :

60

30

15

9

Q61

Soit $((Ω, P))$ un espace de probabilité fini et soit $E$ un événement de $Ω$ tel que :

P (E) > 0.

Pour tout événement $F$ de $Ω$ ,

P_{E} (F) = P (F)

si et seulement si :

0 < P (E) < \frac{1}{5}

\frac{1}{5} \leq P (E) < \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \leq P (E) < 1

P (E) = 1

Q62

Soit $φ$ une fonction continue et positive sur $R^{+}$ , et $y$ la solution du problème de Cauchy :

y^{'} (t) = φ (t) y (t), y (0) = 2.

À quelle condition $y (t)$ admet-elle une limite finie lorsque $t \to + \infty$ ?

φ

est bornée sur

R^{+}

lim_{t \to + \infty} φ (t) = 0

φ

est de classe

C^{1}

φ

est intégrable sur

R^{+}

Q63

On considère la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = cos (sin x) e^{c o s x} .

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ est :

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{s i n ( n x )}{n !}

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{c o s ( n x )}{4 n ^{2} - 1}

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{c o s ( n x )}{n !}

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{s i n ( n x )}{4 n ^{2} + 1}

Q64

Lequel des ensembles suivants est un idéal de $R [X]$ ?

{P \in R [X] ∣ P divise X^{5}}

{P \in R [X] ∣ P (1) = 0}

{P \in R [X] ∣ P (0) = P (1)}

{P \in R [X] ∣ P (0) = P^{'} (0)}

Q65

Le nombre minimum de lancers d’une pièce de monnaie parfaitement équilibrée pour obtenir au moins une fois Face avec une probabilité supérieure ou égale à $0, 999$ est :

On donne :

\frac{1}{lo g 2} ≃ 3, 32.

9

10

20

29

Q66

Soit $k \in] 0, 1 [$ . Alors :

n \to + \infty lim (1 + k) (1 + k^{2}) \dots (1 + k^{2^{n}})

est égale à :

\frac{k}{1 - k}

\frac{1}{k}

\frac{1}{1 - k}

autre réponse

Q67

Une matrice symétrique réelle non nulle ne peut pas être :

inversible

diagonalisable

nilpotente

orthogonale

Q68

Soit $E$ l’ensemble des fonctions continues de $[0, 1]$ dans $R^{+}$ telles que :

\int_{0}^{1} f^{2} (t) d t = 1.

Alors :

f \in E sup \int_{0}^{1} x f (x) d x

est égal à :

\frac{2}{2}

\frac{3}{3}

\frac{1}{3}

autre réponse

Q69

Soit $a$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = {\frac{1}{x} - \frac{2}{e ^{2 x} - 1}, x \neq = 0, [3 mm] a, x = 0.

La fonction $f$ est continue en $0$ si $a$ est égal à :

- 1

0

\frac{1}{2}

1

Q70

On pose :

M = 111 sin x sin y sin z cos x cos y cos z, (x, y, z) \in R^{3} .

Alors $det M$ est égal à :

4 sin (\frac{y + x}{2}) sin (\frac{z + x}{2}) sin (\frac{y + z}{2})

4 sin (y + x) sin (z + x) sin (y + z)

4 sin (y - x) sin (z - x) sin (y - z)

4 sin (\frac{y - x}{2}) sin (\frac{z - x}{2}) sin (\frac{y - z}{2})

Q71

Soit $x \in R_{+}^{*}$ . On a :

n \geq 0 \sum \frac{x ^{3 n}}{( 2 n )!}

égale à :

cos (x^{3})

ch (x^{3/2})

e^{x^{3} /2}

\frac{1}{1 - x ^{3}}

Q72

Soient $E$ et $F$ deux événements liés à une même expérience aléatoire.

Si :

P (E) = \frac{1}{3}, P (F) = \frac{2}{5}

et :

P (E \cap \overline{F}) = \frac{1}{6},

alors $P (\overline{E} \cap \overline{F})$ est égal à :

\frac{7}{30}

\frac{11}{30}

\frac{13}{30}

\frac{19}{30}

Q73

Soit $a \in] 1, + \infty [$ . La valeur de l’intégrale :

\int_{e^{2 a}}^{+ \infty} \frac{2 a}{x ( ln ^{2} x - a ^{2} )} d x

est égale à :

- ln 2

- ln 3

ln 2

ln 3

Q74

Soit $f$ une fonction dérivable sur $R$ , avec :

f^{'} > 0.

La dérivée de la fonction :

g : x ⟼ \int_{f (0)}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t

est :

x ⟼ x f^{'} (x)

x ⟼ x

x ⟼ f^{- 1} (x)

x ⟼ f^{'} (x) f^{- 1} (x)

Q75

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = e^{x 3} sin x .

La dérivée $n$ -ième $f^{(n)} (x)$ est égale à :

2^{n} e^{x 3} sin (x + \frac{nπ}{3})

2^{n} e^{x 3} sin (x + \frac{nπ}{6})

(3)^{n} e^{x 3} cos (x + \frac{nπ}{3})

2^{n} e^{x 3} sin (x + \frac{nπ}{6})

Q76

Soit $F$ un sous-espace de l’espace euclidien $E$ , $x \in E$ , et $p (x)$ le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ . On a :

∣ x ∣^{2} + ∣ p (x) - x ∣^{2} = ∣ p (x) ∣^{2}

∣ p (x) ∣^{2} + ∣ p (x) - x ∣^{2} = ∣ x ∣^{2}

∣ x ∣^{2} + ∣ p (x) ∣^{2} = ∣ p (x) - x ∣^{2}

∣ x ∣^{2} + ∣ p (x) ∣^{2} = ∣ p (x) + x ∣^{2}

Q77

Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$ .

On considère l’ensemble :

J = {x \in A ∣ \exists n \geq 1, x^{n} \in I} .

Alors $J$ :

est un idéal de

A

est seulement un sous-groupe additif de

A

n’a aucune structure particulière

autre réponse

Q78

On ne peut pas trouver de base de $M_{n} (C)$ formée de matrices :

diagonalisables

inversibles

de rang

1

nilpotentes

Q79

Soit $f$ une fonction différentiable au point $a$ , avec $f^{'} (a) \neq = 0$ . On a :

lim_{h \to 0} \frac{f ( a ) - f ( a - h )}{h} = - f^{'} (a)

lim_{h \to 0} \frac{f ( a + 2 h ) - f ( a + h )}{h} = f^{'} (a)

lim_{h \to 0} \frac{f ( a + 2 h ) - f ( a )}{h} = - f^{'} (a)

lim_{h \to 0} \frac{f ( a + 3 h ) - f ( a + h )}{h} = 3 f^{'} (a)

Q80

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par :

f (x) = x^{5} + x + 5.

La valeur de :

\int_{5}^{7} f^{- 1} (x) d x

est égale à :

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{4}{3}

Q81

Soit :

M = (a c b d) \in M_{2} (R), b \neq = 0.

Si :

M^{3} = I_{2},

alors $a + d$ est égal à :

- 1

0

1

2

Q82

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{n}$ , avec $n > 2$ . On note $P_{f}$ son polynôme caractéristique et $π_{f}$ son polynôme minimal.

π_{f} (X) = X^{2} - X

, alors

f

est nilpotent.

f

est une projection, alors

π_{f} (X) = X^{2}

π_{f} (X) = X^{2}

, alors

f

n’est pas diagonalisable.

π_{f} (X) = X^{2} - X

, alors

f

n’est pas diagonalisable.

Q83

On a :

n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{n ( 1 + n x )}{( 1 + x ) ^{n}} d x

égale à :

1

2

3

4

Q84

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $ln 3$ . Alors :

E (\frac{1}{1 + X})

est égal à :

\frac{2}{3 l n 3}

\frac{1}{2 l n 3}

ln 3

\frac{l n 3}{3}

Q85

Soit $u$ un endomorphisme de $R^{n}$ tel que :

R^{n} = ker (u^{2} - Id) \oplus ker (u^{3} - Id) .

On peut affirmer que :

u

est diagonalisable

Sp (u) = {- 1, 1}

1 \in / Sp (u)

cette situation est impossible car

pgcd (X^{2} - 1, X^{3} - 1) \neq = 1

Q86

On considère les assertions :

P : « f est continue sur R »

et :

Q : « f_{∣ R^{+*}} est continue sur R^{+*} et f_{∣ R^{-}} est continue sur R^{-} » .

Alors :

Il n’y a aucune implication entre

P

Q

P ⟺ Q

Q ⟹ P

P ⟹ Q

Q87

Soient $a \in Z$ et $b \in N^{*}$ . On note $q$ le quotient de la division euclidienne de $a - 1$ par $b$ .

Pour tout $n \in N$ , le quotient de la division euclidienne de :

a b^{n} - 1

par $b^{n + 1}$ est :

1

q

q b

q b^{n + 1}

Q88

La valeur de l’intégrale :

\iint_{R} x^{2} d x d y

où :

R = {(x, y) \in R^{2} ∣ x \geq 0, 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 2}

est :

\frac{2 π}{3}

\frac{3 π}{4}

\frac{3 π}{2}

\frac{4 π}{3}

Q89

En appliquant le théorème des accroissements finis à :

f (x) = arctan x

entre $0$ et $h$ , on obtient un unique $θ \in] 0, 1 [$ tel que :

f (h) = h f^{'} (θ h) .

La limite :

h \to 0 lim θ

est égale à :

\frac{3}{3}

\frac{3}{2}

\frac{1}{2 3}

\frac{3}{2}

Q90

On considère les points :

A (1, 0) et B (- 1, 0) .

L’ensemble des points $M$ tels que :

M A + M B = 1

est :

une ellipse

une hyperbole

un point

vide

Q91

Soit $A \in M_{n} (R)$ , où $n \in N$ .

Si $n$ est impair et :

A^{2} = A - I_{n},

alors $det (A)$ est égal à :

- 1

0

1

2

Q92

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_{2} (R)$ telles que :

B + A^{- 1} B A = 0.

Alors :

(A + B)^{2}

est égal à :

0

A^{2} + B^{2}

A^{2} + 2 A B + B^{2}

A + B

Q93

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$ , d’élément neutre $e$ , et $a \in G$ .

Laquelle des conditions suivantes ne permet pas de dire que $a$ engendre $G$ ?

G

est cyclique

a^{k} \neq = e pour 1 \leq k < n

a^{2}

engendre

G

{k \in Z ∣ a^{k} = e} = n Z

Q94

On lance indéfiniment une pièce de monnaie équilibrée. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir « Face » pour la première fois.

Alors :

P (X \leq 3)

est égal à :

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{7}{8}

1

Q95

L’aire de la région :

D = {(x, y) \in R^{2} ∣ y \leq x \leq y^{2}, 1 \leq y \leq 2}

est égale à :

0

\frac{5}{6}

\frac{3}{4}

proposition absente ou non lisible sur le scan

Q96

Pour prouver qu’un sous-groupe non nul $G$ de $Z$ est de la forme $n Z$ , comment construit-on $n$ à partir de $G$ ?

n = min (G \cap N^{*})

n = pgcd {x ∣ x \in G}

n = Card (G)

n = in f (N^{*} ∖ G)

Q97

Soit $((u_{n})_{n \geq 0})$ une suite de réels strictement positifs.

Laquelle des conditions suivantes permet d’affirmer que $((u_{n}))$ est strictement décroissante à partir d’un certain rang ?

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0

lim_{n \to + \infty} (u_{n + 1} - u_{n}) = 0

lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1

lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{1}{2}

Q98

La dimension de l’espace des polynômes réels $P$ , de degré inférieur ou égal à $4$ , tels que :

\int_{0}^{1} P (x) d x = 0

est :

2

3

4

5

Q99

Dans le groupe symétrique $S_{5}$ , le nombre d’éléments qui engendrent un sous-groupe de cardinal $2$ est :

10

25

40

60

Q100

Soient $n \in N^{*}$ et $A \in M_{n} (R)$ tels que :

A^{4} + A^{3} + 2 A^{2} + A + I_{n} = 0.

Alors :

Tr (A) \in N

n

est pair

n \equiv 0 (mod 3)

autre réponse