Académie Btissam

Q1

x \to 0^{+} lim (cos x)^{\frac{1}{x ^{2}}}

est égale à :

Q2

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par :

u_{0} = 0

et

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{( ln 2 ) ^{n}}{n !} .

Alors, la suite $(u_{n})$ est convergente et

n \to + \infty lim u_{n}

est égale à :

Q3

Une urne contient 200 boules indiscernables au toucher dont 50 sont blanches. On tire au hasard successivement et sans remise 16 boules de cette urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. Alors, l’espérance de $X$ est égale à :

Q4

Soit $F$ la fonction définie sur $R$ par :

F (x) = \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{4 + t ^{2}} .

Alors :

A

F

est décroissante sur

] - \infty, - 1]

B

F

est décroissante sur

[- 1, 0]

C

F

est décroissante sur

[0, 2]

D

F

est décroissante sur

[2, + \infty [

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q5

On considère une fonction

f : R \to R .

L’application

d (x, y) = ∣ f (x) - f (y) ∣

est une distance lorsque la fonction $f$ est égale à :

Q6

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$ . La valeur de $p$ telle que

P (X = 2) = 0.25

est égale à :

Q10

Dans l’espace vectoriel $R^{3}$ , l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice

M = 2 - 4 2 1 t 1 1 - 2 1

est un projecteur si la valeur de $t$ est égale à :

Q11

Dans $R_{2} [X]$ , on considère les polynômes :

P_{1} = X^{2} + 2, P_{2} = P_{1}^{'}, P_{3} = P_{1}^{''} .

Alors,

{P_{1}, P_{2}, P_{3}}

est une famille :

A

génératrice et non libre de

R_{2} [X]

B

non génératrice et libre de

R_{2} [X]

C

génératrice et libre de

R_{2} [X]

D

non génératrice et non libre de

R_{2} [X]

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q13

Soit $M \in M_{2} (R)$ telle que :

M = (1111) .

Alors,

(M + I)^{8}

est égale à :

Q14

Soient $M$ et $N$ deux matrices carrées telles que :

M N = I + M + M^{2} .

Alors :

A

M

n’est pas inversible et

M N = N M

B

M

est inversible et

M N = N M

C

M

est inversible et

M N \neq = N M

D

M

n’est pas inversible et

M N \neq = N M

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q16

Soit

F = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}}

une famille de vecteurs de $R^{4}$ .

A

Si

rang F = 5

, alors

F

est une famille libre de

R^{4}

B

Si

rang F = 4

, alors

F

est une base de

R^{4}

C

Si

rang F = 4

, alors

F

est une famille libre de

R^{4}

D

Si

rang F = 4

, alors

F

est une famille génératrice de

R^{4}

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q17

On note respectivement par $M_{0}$ , $M_{e}$ et $\overset{x}{ˉ}$ le mode, la médiane et la moyenne d’une série statistique. La forme du graphe de la distribution de cette série est symétrique si :

Q18

On considère les permutations suivantes :

i d = (11223344),

σ_{1} = (12233441),

σ_{2} = (13243142),

et

σ_{3} = (14213243) .

Alors,

σ_{3} \circ σ_{2}

est égale à :

Q19

On munit $R^{2}$ de sa topologie usuelle. On considère la fonction :

f : R^{2} \to R

définie par :

f (x, y) = ln (e^{x} - e^{y}) .

L’ensemble de définition de la fonction $f$ est :

Q20

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $N^{*}$ telles que :

P ((X = i) \cap (Y = j)) = \frac{α}{3 ^{i + j}},

pour tous $i, j \in N^{*}$ . Alors, $α$ est égal à :

Q21

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6, et on regarde à chaque fois la face du dessus. La probabilité d’obtenir un 6 au plus 19 fois est :

Q22

Soit $E$ un espace préhilbertien muni d’un produit scalaire canonique. Soit $F$ le plan engendré par les deux vecteurs :

u_{1} = (2, 1, - 2)

et

u_{2} = (4, - 1, - 1) .

Alors, la base $(v_{1}, v_{2})$ est orthonormale de $F$ si :

A

v_{1} = \frac{1}{3} u_{1} et v_{2} = \frac{1}{3} (2, - 2, 1)

B

v_{1} = \frac{1}{3} u_{1} et v_{2} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)

C

v_{1} = \frac{1}{2 5} u_{2} et v_{2} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)

D

v_{1} = \frac{1}{2 5} u_{2} et v_{2} = \frac{1}{2} (0, 1, - 1)

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q23

Soit l’espace vectoriel $(R^{3}, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ muni de son produit scalaire canonique. Soit :

F = vect (u, v)

où

u = (2, 1, - 2)

et

v = (4, - 1, - 1) .

Alors,

F^{⊥} = vect (w)

avec :

Q24

Dans l’espace vectoriel $R^{3}$ , la matrice de la symétrie $s$ par rapport à un plan $P$ et parallèlement à une droite vectorielle $D$ est :

M = 2 - 1 - 2 10 - 2 1 - 1 - 1 .

Alors, la matrice de la projection $p$ sur $P$ parallèlement à $D$ est :

A

\frac{1}{2} 3 - 1 - 2 11 - 2 1 - 1 0

B

\frac{1}{2} 1 - 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 0

C

\frac{1}{4} 3 - 1 - 2 11 - 2 1 - 1 2

D

\frac{1}{4} 1 - 1 - 2 1 - 1 - 2 1 - 1 0

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q25

On considère dans $M_{2} (R)$ , la matrice :

M = (1112) (1002) (2 - 1 - 1 1) .

Alors, $e^{M}$ est égale à :

A

(2 e - e^{2} 2 e - 2 e^{2} e^{2} - e 2 e^{2} - e)

B

(e - e^{2} e - 2 e^{2} e^{2} - 2 e 2 e^{2} - 2 e)

C

(2 e - 2 e^{2} 2 e - e^{2} 2 e^{2} - e e^{2} - e)

D

(e - e^{2} e - 2 e^{2} e^{2} - e 2 e^{2} - e)

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q26

Soit $(E, T)$ un espace topologique. Alors :

A

Toute application continue

f : E \to {0, 1}

est constante.

B

La seule partie à la fois ouverte et fermée de

E

est

E

lui-même.

C

E

s’écrit comme réunion disjointe de deux fermés non vides.

D

E

s’écrit comme réunion disjointe de deux ouverts non vides.

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q27

Soient $G$ et $H$ deux parties d’un $K$ -espace vectoriel $E$ . Alors :

A

Vect (G \cap H) = Vect (G) \cap Vect (H)

B

Vect (G \cap H) = Vect (G) \cup Vect (H)

C

Vect (G \cup H) = Vect (G) + Vect (H)

D

Vect (G \cup H) = Vect (G) \cap Vect (H)

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q28

Soient $P$ une probabilité sur un espace $Ω$ , $A$ , $B$ et $C$ trois événements de $Ω$ .

L’ensemble mesurable de $Ω$ qui permet d’exprimer l’événement :

« Deux exactement des trois événements $A$ , $B$ ou $C$ sont réalisés »

est :

Q30

Soit $f$ la fonction numérique définie par :

{f (x) = \frac{e ^{x} - 1 - x}{x}, si x > 0, f (0) = 0.

Alors, l’équation de la demi-tangente de la courbe de $f$ à droite en $0$ est :

Q31

Soit $f$ la fonction numérique définie sur :

[- \frac{1}{2}, + \infty [

par :

f (x) = \frac{1}{1 + ln ( 1 + x )} .

Le développement limité de $f$ à l’ordre $2$ en $0$ est :

Q32

Soient $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ des réels deux à deux distincts.

L’application :

∥ \cdot ∥_{k} : R_{10} [X] \to R^{+}

définie par :

∥ p ∥_{k} = i = 0 \sum k ∣ p (a_{i}) ∣

est une norme sur $R_{10} [X]$ si et seulement si :

Q33

On considère la série statistique suivante :

Classe Effectif [1, 5 [8 [5, 9 [10 [9, 13 [10 [13, 17 [t [17, 21 [12

La valeur de $t$ pour que la moyenne de cette série soit égale à $11.6$ est :

Q34

On considère les propositions suivantes :

P : « la s \overset{e}{ˊ} rie \sum u_{n} converge »

Q : « la s \overset{e}{ˊ} rie \sum u_{n}^{2} converge »

R : « les s \overset{e}{ˊ} ries \sum u_{2 n} et \sum u_{2 n + 1} convergent »

Alors :

Q35

Parmi les séries suivantes, laquelle est convergente ?

Q36

Pour tout $x \in [0, \frac{π}{2}]$ , on a :

Q37

On considère la fonction $f$ définie sur $R^{+} \times R^{+}$ par :

f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} .

Si $x$ et $y$ sont strictement positifs, alors :

x \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

est égale à :

Q38

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, $f : E \to F$ une application linéaire et ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ une famille libre de $E$ . Alors :

A

f

surjective

\Rightarrow {f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{n})}

est une famille libre de

F

B

f

surjective

\Rightarrow {f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{n})}

est une famille liée de

F

C

f

injective

\Rightarrow {f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{n})}

est une famille libre de

F

D

f

injective

\Rightarrow {f (e_{1}), f (e_{2}), \dots, f (e_{n})}

est une famille liée de

F

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q39

Soit $R$ la relation d’équivalence définie sur $R$ par :

x R y ⟺ x^{2} - y^{2} = x - y .

La classe d’équivalence d’un nombre réel $a$ est l’ensemble :

Q40

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que :

2 b = 2 + ab .

L’intégrale :

\int_{a}^{b} \frac{1}{x ^{2} - 2 x + 2} d x

est égale à :

Q41

Soit $q$ une forme quadratique sur $C^{5}$ telle que :

sign (q) = (2, 3) .

Alors :

Q42

Soit $M \in M_{n} (C)$ telle que :

M^{2} + M^{T} = I_{n} .

Alors, le polynôme annulateur de $M$ est :

Q43

Soient $f$ l’application définie de $R$ dans $] - 1, 1 [$ par :

f (x) = \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1}

et $g$ l’application définie de $] - 1, 1 [$ dans $R$ par :

g (x) = ln (\frac{1 + x}{1 - x}) .

Alors, pour tout $x \in R$ ,

g \circ f (x)

est égale à :

Q44

Le rayon de convergence de la série entière :

n \geq 0 \sum e^{n^{2} + n} z^{2 n}

est égal à :

Q45

Soit :

E = C ([0, 1], R)

l’espace vectoriel des fonctions continues de $[0, 1]$ vers $R$ , muni des normes suivantes :

∣ f ∣_{1} = \int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣ d t,

∣ f ∣_{2} = \int_{0}^{1} (f (t))^{2} d t,

∣ f ∣_{\infty} = t \in [0, 1] sup ∣ f (t) ∣.

Alors :

A

∣ f ∣_{1}

et

∣ f ∣_{2}

sont équivalentes

B

∣ f ∣_{1}

et

∣ f ∣_{\infty}

sont équivalentes

C

∣ f ∣_{1}

est dominée par

∣ f ∣_{\infty}

D

∣ f ∣_{\infty}

est dominée par

∣ f ∣_{2}

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q46

Soit $x \in R$ . Le produit :

(n \geq 1 \sum \frac{x ^{n}}{n}) \times (n \geq 1 \sum x^{n})

est égal à :

A

\sum_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}) x^{n}

B

\sum_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}) x^{2 n}

C

\sum_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n}

D

\sum_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) x^{2 n}

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q47

Soit

M \in M_{n} (C)

et

M^{T}

sa transposée. Alors :

Q48

Soit :

F = {(x, x - y, y) \in R^{3}; x, y \in R}

un sous-espace vectoriel de

R^{3} .

On pose :

u_{1} = (1, 1, 0), u_{2} = (0, - 1, 1), u_{3} = (1, 1, 1) .

Alors :

Q49

Soient

(E, T)

un espace topologique et

A

une partie non vide de

E .

On désigne par

\overline{A}

l’ensemble des points adhérents à

A .

On a :

A

Ā est le plus grand ensemble fermé contenant A

B

Si E=ℝ et T est l’ensemble des parties de ℝ, alors Q̄=Q

C

A est fermé si et seulement si A⊂Ā

D

Si E=ℝ et T est l’ensemble des parties de ℝ, alors Q̄=ℝ

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q50

La forme quadratique

q

définie sur

C^{3}

par :

q (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ∣ x_{1} + i x_{2} ∣^{2} + 2∣ x_{2} - i x_{3} ∣^{2} + 4∣ x_{3} ∣^{2}

est non dégénérée car son rang est égal à :

Q51

Soit

f

la fonction périodique de période

2 π

, définie par

f (x) = \frac{x}{π}

pour tout

x \in] - π, π] .

Alors, le coefficient de Fourier :

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (t) sin (n t) d t

avec

n \geq 1,

est égal à :

Q52

La forme différentielle :

ω = \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}}

définie sur

R^{2} ∖ {(0, 0)}

est :

Q53

Soit

f

la fonction définie sur

] 0, + \infty [

par :

f (x) = (x^{2} - 2 x) ln (x) .

Alors, il existe un unique réel

α \in] 0, + \infty [

tel que

f (α)

est égale à :

Q54

Sachant que :

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6},

la somme :

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 2 n + 1 ) ^{2}}

est égale à :

Q55

Soit :

f : R \to R

une fonction

k

-lipschitzienne.

On considère les propositions suivantes :

P : « f est k -lipschitzienne »

Q : « f uniform \overset{e}{ˊ} ment continue »

R : « f est continue » .

Alors :

Q56

Soit :

f : [a, b] \to R .

Si

f

est continue sur

[a, b],

alors

f

est uniformément continue sur

[a, b] .

D’après le théorème de :

Q57

Soit

(u_{n})

la suite définie par :

u_{0} = 2

et :

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout

n \in N,

avec

f

une fonction

k

-lipschitzienne sur

R

telle que :

k = \frac{2}{3}

et :

f (1) = 1.

Alors,

lim u_{n}

est égale à :

Q58

Soient :

f : R^{2} \to R

une fonction de classe

C^{2},

et

((a_{0}, b_{0}))

un point critique de

f .

On pose :

r = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} (a_{0}, b_{0}), s = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a_{0}, b_{0}), t = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} (a_{0}, b_{0}) .

f

admet un minimum local en

((a_{0}, b_{0}))

si :

Q59

Soit

Γ

l’arc de la parabole d’équation

y = x^{2}

pour

x

allant de

0

à

1,

et parcouru dans le sens direct. Alors :

\int_{Γ} x y d x + x^{2} y d y

est égale à :

Q60

Dans l’espace affine euclidien

R^{3},

on considère la symétrie

s

par rapport au plan

(P)

d’équation :

x - y + z = 0

et parallèlement à la droite vectorielle

(D)

engendrée par :

u = (1, 1, - 1) .

Alors, l’expression analytique de la symétrie

s

est :

A

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = 3 x + 2 y + 2 z y^{'} = 2 x + y + 2 z z^{'} = 2 x + 2 y + z

B

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = 3 x - 2 y + 2 z y^{'} = 2 x - y + 2 z z^{'} = 2 x - 2 y + z

C

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = 3 x + 2 y - 2 z y^{'} = 2 x + y - 2 z z^{'} = 2 x + 2 y - z

D

⎩ ⎨ ⎧ x^{'} = 3 x - 2 y + 2 z y^{'} = 2 x - y + 2 z z^{'} = - 2 x + 2 y - z

E

Aucun des choix proposés n’est juste

دورة نونبر 2025 — الرياضيات

QCM de l’examen de mathématiques — Q1 à Q60