Académie Btissam

Q1

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n + 1 (\frac{k}{n})^{2024}

est égale à :

Q2

La fonction $f : R^{2} \to R$ définie par :

f (x, y) = x + y + \frac{1}{x y}

admet :

Q4

Soit $(X, T)$ un espace topologique tel que :

X = {1, a, a^{2}, a^{3}}

où $a \in R$ , et

T = {\emptyset, {a}, {1, a}, {a, a^{3}}, {1, a, a^{3}}, X} .

On pose

E = {1, a}

et

F = {1, a^{2}} .

Q5

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $R$ par :

f (x) = ln (e^{x} + e^{- x}) .

Le développement limité de $f$ à l’ordre 2 en 0 est :

Q6

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

\frac{2}{3} .

k = 1 \sum 2024 P (X = k)

est égale à :

Q7

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que l’espérance de $X$ est :

E (X) = 5.75

et l’espérance de $Y$ est :

E (Y) = 4.25.

Alors :

E (4 X + 2 Y)

est égale à :

Q10

Soit $f$ une fonction définie sur $R$ par :

f (x) = \frac{x ^{2 n} + 2}{x ^{2 m} + 1}

où :

(m, n) \in N^{2} .

$f$ est-elle intégrable sur $R$ si :

Q11

On considère dans $R^{2}$ les ensembles suivants :

E = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 4},

F = {(x, y) \in R^{2} : y > 2},

G = {(x, y) \in R^{2} : x > 2}

et

H = {(x, y) \in R^{2} : ∣ x ∣ < 1} .

Parmi les ensembles suivants, lequel est connexe ?

Q12

On considère la suite :

a_{n} = arctan (n) .

Alors :

n \to + \infty lim k = 1 \sum n (a_{k + 1} - a_{k - 1})

est égale à :

Q14

On considère la fonction $f$ définie sur :

D = {(x, y) \in R^{2}, x > 0, y > 0}

par :

f (x, y) = x^{α} y^{β}

où $α$ et $β$ sont des réels non nuls.

$f$ est concave si :

Q15

On considère les deux éléments :

a = (\overline{0}, 1)

et

b = (\overline{1}, - 1)

du groupe :

(Z /2 Z \times Z, +) .

Alors :

A

a

et

b

sont d’ordres infinis

B

a

est d’ordre infini et

b

est d’ordre fini

C

a

et

a + b

sont d’ordres finis

D

a

est d’ordre fini et

a + b

est d’ordre infini

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q16

On considère la famille :

F = {u_{0}, u_{1}, u_{2}}

de vecteurs de $R^{3}$ , définie par :

u_{0} = (1, a, 3), u_{1} = (1, 1, a), u_{2} = (a, 1, 3)

où :

a \in R .

Alors la famille $(F)$ est libre si et seulement si :

Q17

Soient $M$ et $N$ deux matrices diagonalisables de $M_{2} (R)$ .

Alors les matrices suivantes sont aussi diagonalisables :

Q18

On munit $R^{2}$ de sa topologie usuelle.

On considère la fonction :

f : R^{2} \to R

définie par :

f (x, y) = ln x - ln y .

L’ensemble de définition de la fonction $(f)$ est :

Q19

On munit $R [X]$ du produit scalaire :

⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

On considère les polynômes :

R (X) = 1

et :

S (X) = a X + b

où :

a \in R^{*}

et :

b \in R .

On a :

R (X) ⊥ S (X)

et :

∣ R (X) ∣ = ∣ S (X) ∣

si :

Q20

Soit $D$ le domaine :

D = {(x, y) \in R^{2}; 0 < x < ln 2 et 0 < y < ln (3)} .

L’intégrale :

\iint_{D} \frac{e ^{x + y}}{( 1 + e ^{x} ) ( 1 + e ^{2 y} )} d x d y

est égale à :

Q21

Soient $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectivement :

B (n_{1}, p_{1})

avec :

n_{1} = 20 et p_{1} = \frac{1}{7}

et :

B (n_{2}, p_{2})

avec :

n_{2} = 10 et p_{2} = \frac{1}{7} .

Alors la variable aléatoire $X_{1} + X_{2}$ suit la loi binomiale de paramètres $(n)$ et $(p)$ avec :

Q22

Soient :

(n \geq 0 \sum a_{n} x^{n})

et :

(n \geq 0 \sum b_{n} x^{n})

deux séries entières de rayons de convergence respectifs :

R_{1} = 2

et :

R_{2} = 4.

Alors le rayon de convergence de la série :

n \geq 0 \sum (a_{n} + b_{n}) x^{n}

est égal à :

Q23

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $R [X]$ définis par :

P (X) = X^{10}

et

Q (X) = X^{2} - 4 X + 3.

Le reste de la division euclidienne de $P (X)$ par $Q (X)$ est :

A

(\frac{3 ^{10} - 1}{2}) X - \frac{3 ^{10} - 3}{2}

B

(\frac{3 ^{10} - 1}{2}) X + \frac{3 ^{10} - 3}{2}

C

(\frac{2 ^{10} - 1}{2}) X - \frac{2 ^{10} - 2}{2}

D

(\frac{2 ^{10} - 1}{2}) X + \frac{2 ^{10} - 2}{2}

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q24

Dans $R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, considérons :

u = (1, 0, 1)

et

F = vect (u) .

Alors :

F^{⊥} = vect (v, w)

avec :

A

v = (- 1, 0, 1), w = (0, 0, 1)

B

v = (- 1, - 1, 0), w = (0, - 1, 0)

C

v = (- 1, 0, - 1), w = (0, - 1, 0)

D

v = (1, 0, - 1), w = (0, 1, 0)

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q25

Soit $f$ l’application linéaire définie de $R^{3}$ vers $R^{2}$ par :

f (x, y, z) = (x - y + z, 2 x + y + 2 z) .

Alors :

A

f

est injectif et non surjectif

B

f

est injectif et surjectif

C

f

est surjectif et non injectif

D

f

est non injectif et non surjectif

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q26

On munit l’ensemble $R$ de la topologie $(T)$ suivante :

T = {X \subset R : C_{R}^{X} est fini ou X = \emptyset} .

Alors :

\overline{Z}

est égale à :

Q27

Soit $q$ la forme quadratique définie sur $R^{2}$ par :

q (x, y) = (\frac{5}{4} x - y)^{2} - (\frac{3}{4} x)^{2} .

La matrice de $q$ dans la base canonique de $R^{2}$ est :

Q28

Dans $M_{3} (R)$ muni du produit scalaire :

⟨ A, B ⟩ = Tr (^{t} A B)

on considère l’application :

p : M_{3} (R) \to M_{3} (R)

p (M) = \frac{M + ^{t} M}{2} .

Alors pour tout :

M \in Im (p)

et

N \in ker (p)

on a :

Q29

Soit $E$ un espace métrique complet et $((O_{n})_{n \in N})$ une suite de parties ouvertes partout denses dans $E$ .

Alors :

n \in N ⋂ O_{n}

est partout dense dans $E$ , d’après le théorème de :

Q30

Soit :

n \geq 1 \sum u_{n}

une série convergente.

Parmi les séries suivantes, laquelle est divergente ?

Q31

Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2} - 1} si x > 1

et

f (1) = \frac{1}{2} .

Alors $f$ est dérivable à droite en $1$ et sa dérivée à droite en $1$ est égale à :

Q32

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est convexe dans $R^{2}$ ?

Q33

Soient $(E, T)$ un espace topologique et $A$ une partie non vide de $E$ .

On désigne par $Ext (A)$ l’ensemble des points extérieurs à $A$ .

Si $A$ est partout dense dans $E$ , alors $Ext (A)$ est égal à :

Q34

Soit $X$ une variable qui suit la loi normale :

N (200, 15) .

Alors :

P (X > 200)

est égale à :

Q35

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct :

(O, u, v)

on considère la transformation $(T)$ qui à chaque point $M (z)$ associe le point $M (z^{'})$ tel que :

z^{'} = - \overline{z} + 2030.

Alors $(T)$ est la composée d’une :

A

homothétie et d’une symétrie axiale

B

translation et d’une rotation

C

translation et d’une symétrie axiale

D

symétrie axiale et d’une rotation

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q36

Soit $E$ un espace hermitien. Si $F$ et $G$ sont deux parties de $E$ .

Alors :

(F \cup G)^{⊥}

est égale à :

Q41

Soient $a$ et $b$ deux réels, et $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = {\frac{sin ( a x )}{x} si x < 0, 1 si x = 0, e^{b x} - x si x > 0.

Alors $f$ est dérivable sur $R$ pour :

Q42

Soit $(X, Y)$ un couple de deux variables aléatoires tel que :

\forall (i, j) \in {1, 2}^{2}, P (X = i, Y = j) = {\frac{1}{3} si i \leq j, 0 si i > j .

L’espérance $E (X Y)$ est égale à :

Q43

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes non nuls.

Si :

G = {1, a, b}

est un sous-groupe de $(C^{*}, \times)$ . Alors :

Q44

Le temps moyen d’attente d’un client lors d’un appel téléphonique est de $4$ minutes.

Alors, la probabilité pour que le temps d’attente d’un client soit supérieur à $8$ minutes est égale à :

Q45

Soient $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ des réels deux à deux distincts.

L’application :

∣ \cdot ∣_{k} : R_{20} [X] \to R^{+}

définie par :

∣ p ∣_{k} = i = 0 \sum k ∣ p (a_{i}) ∣

est une norme sur $R_{20} [X]$ si et seulement si :

Q46

Soit $E$ un espace affine de direction $E$ .

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces affines de $E$ de directions respectives $F$ et $G$ .

$F$ est faiblement parallèle à $G$ équivaut à :

Q47

Soient $t$ une translation affine de vecteur $2024 u$ et :

h = h (Ω, 2030)

une homothétie affine de centre $Ω$ et de rapport $2030$ .

Alors $h \circ t$ est une :

A

translation affine de vecteur

2024 u

B

translation affine de vecteur

- 2024 u

C

homothétie affine de rapport

2030

D

homothétie affine de rapport

- 2030

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q48

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$ .

Alors :

(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})

est égale à :

Q49

Si :

y (x) = n \geq 0 \sum a_{n} x^{n}

est une solution de l’équation :

y^{''} + y = 0

avec :

y (0) = 0

et :

y^{'} (0) = 1,

alors $y (x)$ est égale à :

A

n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1}

B

n \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n}

C

n \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1}

D

n \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 n )!} x^{2 n}

E

Aucun des choix proposés n’est juste

Q50

On considère le système $(S)$ :

{x + 4 y + 9 z + 16 t = 1 4 x + 9 y + 16 z + 25 t = 8 9 x + 16 y + 25 z + 36 t = 23

d’inconnue :

(x, y, z, t) \in R^{4} .

Soit $(a, b, c, d)$ une solution du système, alors :

a + b + c + d

est égal à :

Q51

Soit $q$ une forme quadratique définie sur $C^{3}$ par :

\forall (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in C^{3},

q (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ∣ x_{1} - i x_{2} ∣^{2} - ∣ x_{2} + i 2 x_{3} ∣^{2} + 3∣ x_{3} ∣^{2} .

Alors :

Q52

Soit $R$ la relation d’équivalence définie sur $R$ par :

x R y ⟺ x^{2} - y^{2} = x - y .

La classe d’équivalence de $10$ est l’ensemble :

Q54

Dans $R [X]$ , on considère le polynôme :

P (X) = 2 X^{3} - 3 X^{2} + m

où :

m \in R .

Alors le polynôme $P$ est scindé dans $R [X]$ si :

Q55

On considère la fonction $f$ définie sur $R_{+}^{*} \times R_{+}^{*}$ par :

f (x, y) = 5 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{4}{5}} .

Si $x$ et $y$ sont strictement positifs, alors :

x \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

est égale à :

Q56

Soit $f$ la fonction périodique de période $2 π$ , définie par :

f (x) = x

pour tout :

x \in] - π, π] .

Alors, pour tout :

x \in] - π, π [,

n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} sin (n x)

est égale à :

Q57

Soit $F$ la fonction définie sur $] 1, + \infty [$ par :

F (x) = \int_{1}^{l n x} \frac{e ^{- t}}{t} d t .

Alors $F$ est dérivable sur $] 1, + \infty [$ , et pour tout $x \in] 1, + \infty [$ , on a :

F^{'} (x)

est égale à :

Q58

Soit $F$ une partie de l’espace vectoriel normé $R^{2}$ . On considère les propositions suivantes :

P : « F est une partie connexe de R^{2} »

Q : « F est une partie connexe par arc de R^{2} »

R : « F est une partie convexe de R^{2} »

Alors on a les implications suivantes :

Q59

Soit $M \in M_{3} (R)$ telle que :

M = - 1 11 1 - 1 1 11 - 1

et :

P (X) = X^{2} + X - 2

est un polynôme annulateur de $M$ .

Alors $M$ est inversible et la troisième ligne de la matrice $M^{- 1}$ est égale à :

Q60

Dans $R^{3}$ muni de la base canonique, on considère le plan :

P = vect (u_{1}, u_{2})

et la droite :

D = vect (u_{3})

où :

u_{1} = 010, u_{2} = 10 - 1, u_{3} = 111

Dans la base canonique, la matrice de la projection $(p)$ sur $(P)$ parallèlement à $(D)$ est :

A

\frac{1}{2} 1 - 1 - 1 020 - 1 - 1 1

B

\frac{1}{2} 11 - 1 010 - 1 11

C

\frac{1}{2} 101110 - 1 01

D

\frac{1}{2} 101120101

E

Aucun des choix proposés n’est juste

الاختبار	اختبار في مادة أو مواد التخصص
التخصص	الرياضيات

مباراة ولوج سلك تأهيل أطر التدريس بالمراكز الجهوية لمهن التربية والتكوين

بيانات الاختبار

QCM de l’examen de mathématiques — Q1 à Q60