Académie Btissam

Applications linéaires | Niveau 1

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

On considère les deux applications suivantes :

f : R \to R, x \mapsto sin x

et

g : R^{2} \to R^{2}, (x, y) \mapsto (y, x) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q1

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les deux applications suivantes :

f : R^{2} \to R^{2}, (x, y) \mapsto (x, y^{2})

et

g : R^{2} \to R^{2}, (x, y) \mapsto (x, - x) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q2

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les applications suivantes :

f : R^{3} \to R^{2}, (x, y, z) \mapsto (x + y, x - z)

et

g : R^{3} \to R^{2}, (x, y, z) \mapsto (x y, x z) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q3

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications linéaires | Niveau 2

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

On note $R_{n} [X]$ l’espace des polynômes réels de degré $\leq n$ . On considère :

f : R_{3} [X] \to R, P \mapsto P (0) + P^{'} (0)

et

g : R_{3} [X] \to R_{2} [X], P \mapsto 1 + P^{'} + X P^{''} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q4

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les applications suivantes :

f : C \to C, z \mapsto Re (z)

et

g : C \to C, z \mapsto Im (z) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q5

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les applications suivantes :

f : C \to C, z \mapsto ∣ z ∣

et

g : C \to C, z \mapsto \overline{z} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q6

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications linéaires | Niveau 3

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

On considère les deux applications suivantes :

f : R^{2} \to R, (x, y) \mapsto ∣ x + y ∣

et

g : R^{2} \to R^{2}, (x, y) \mapsto (max (x, y), min (x, y)) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q7

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les applications suivantes :

f : R^{3} \to R^{2}, (x, y, z) \mapsto (x - y, y + 2 z + a)

et

g : R^{3} \to R, (x, y, z) \mapsto (a x + b) (x + y),

ou $a, b \in R$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q8

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les applications suivantes :

f : R^{3} \to R^{2}, (x, y, z) \mapsto (z, x + a x^{2})

et

g : R^{3} \to R^{3}, (x, y, z) \mapsto (z + a sin x, y + b e^{x}, c ∣ x ∣ + 1),

ou $a, b, c \in R$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q9

Quelles sont les assertions vraies ?

On note $R_{n} [X]$ l’espace des polynômes réels de degré $\leq n$ . On considère l’application qui à tout $P \in R_{3} [X]$ associe le reste $R$ et le quotient $Q$ de la division euclidienne de $P$ par $X^{3} + 1$ . On pose :

f (P) = R, g (P) = Q .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q10

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications linéaires | Niveau 4

Nombre de questions : 1

0 / 1réponses choisies

Score : 0 / 1

Quelles sont les assertions vraies ?

Q11

Quelles sont les assertions vraies ?

Noyau et image | Niveau 1

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $f : E \to F$ une application linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Q12

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f : E \to F$ une application linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Q13

Quelles sont les assertions vraies ?

Noyau et image | Niveau 2

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Soit $f$ une application linéaire de $R^{3}$ dans $R^{5}$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q14

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

f : R^{3} \to R^{3}, (x, y, z) \mapsto (x - z, y + z, x + y) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q15

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

f : R^{3} \to R^{3}, (x, y, z) \mapsto (x - y, y - z, x + z) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q16

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

f : R^{3} \to R^{2}, (x, y, z) \mapsto (x + y + z, x + y - z) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q17

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $R^{3}$ muni de la base canonique $B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ et l’endomorphisme $f$ défini par :

f (e_{1}) = e_{3}, f (e_{2}) = e_{1} + e_{2}, f (e_{3}) = e_{1} + e_{2} + e_{3} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q18

Quelles sont les assertions vraies ?

Noyau et image | Niveau 3

Nombre de questions : 8

0 / 8réponses choisies

Score : 0 / 8

On considère l’application linéaire :

f : R_{2} [X] \to R_{2} [X], P \mapsto P^{'} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q19

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

f : R_{2} [X] \to R_{2} [X], P \mapsto X P^{'} - X^{2} P^{''} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q20

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

f : R_{3} [X] \to R_{2} [X], P \mapsto R,

ou $R$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X + 1)^{3}$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q21

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $R_{3} [X]$ muni de sa base canonique $B = {1, X, X^{2}, X^{3}}$ et l’endomorphisme $f$ défini par :

f (1) = X, f (X) = 1 + X, f (X^{2}) = (X - 1)^{2}, f (X^{3}) = (X - 1)^{3} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q22

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $E$ et $F$ deux $R$ -espaces vectoriels de dimensions finies, avec $dim E = n$ et $dim F = m$ , et $f : E \to F$ linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Q23

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $E$ et $F$ deux $R$ -espaces vectoriels de même dimension finie $n$ , et $f : E \to F$ linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Q24

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $E$ et $F$ deux $R$ -espaces vectoriels de dimensions finies et $f : E \to F$ linéaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Q25

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, $f : E \to F$ linéaire, $F = {u_{1}, \dots, u_{k}}$ une famille de vecteurs de $E$ et $F^{'} = {f (u_{1}), \dots, f (u_{k})}$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q26

Quelles sont les assertions vraies ?

Noyau et image | Niveau 4

Nombre de questions : 8

0 / 8réponses choisies

Score : 0 / 8

On considère $E$ un $R$ -espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que :

f^{2} + f + I d = 0.

Quelles sont les assertions vraies ?

Q27

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ , et $f$ l’application définie par :

f : E = F \oplus G \to E, x = x_{1} + x_{2} \mapsto x_{1}, (x_{1} \in F, x_{2} \in G) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q28

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ , et $f$ l’application définie par :

f : E = F \oplus G \to E, x = x_{1} + x_{2} \mapsto x_{1} - x_{2}, (x_{1} \in F, x_{2} \in G) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q29

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un projecteur de $E$ , c’est-à-dire un endomorphisme tel que $f^{2} = f$ . On note $I d$ l’identité de $E$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q30

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme nilpotent non nul de $E$ , c’est-à-dire qu’il existe $n \geq 2$ tel que $f^{n} = 0$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q31

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme involutif non nul de $E$ , c’est-à-dire tel que $f^{2} = I d$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q32

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q33

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q34

Quelles sont les assertions vraies ?

À retenir pour le concours