Cadre référentiel - Algèbre linéaire

Calcul matriciel

Entraînement progressif sur les opérations matricielles, les transposées, les déterminants, le rang, l’inversibilité, les espaces de matrices et plusieurs applications linéaires classiques.

ModeEntraînement

Questions visibles34

Réponses choisies0

Calcul matriciel | Niveau 1

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Soient $A$ et $B$ deux matrices. Quelles sont les assertions vraies ?

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les matrices :

A = (1324), B = (11 1 - 1), C = (1539),

D = (37 - 1 - 1), et E = (4 - 2 62) .

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les matrices :

A = (112), B = 1 - 1 1,

C = (113111), D = 012 1 - 1 1, E = (53 - 1 1) .

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $M_{n, m} (R)$ l’ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes, à coefficients réels, muni de l’addition usuelle et de la multiplication par un scalaire. Quelles sont les assertions vraies ?

Quelles sont les assertions vraies ?

Calcul matriciel | Niveau 2

Nombre de questions : 8

0 / 8réponses choisies

Score : 0 / 8

On considère les matrices :

A = 1 - 1 1 10 - 1 221 et B = 11 - 1 111 - 1 30 .

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les matrices :

A = (124), B = 01 - 1,

C = (10 - 1 0 11) et D = 120 - 1 12 011 .

On notera $^{t} M$ la transposée d’une matrice $M$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $A$ , $B$ et $C$ des matrices carrées d’ordre $n \geq 1$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

A = (1111) et I = (1001) .

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les matrices :

A = (101), B = 210 - 4 - 2 0,

C = 110011012 et D = 110011 10 - 1 .

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(a 0 b a); a, b \in R} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q10

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(a - b b - c a - c b - a); a, b, c \in R} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q11

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $M_{2} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et $f$ l’application définie par

f : M_{2} (R) \to M_{2} (R), M = (a c b d) \mapsto^{t} M = (a b c d) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q12

Quelles sont les assertions vraies ?

Calcul matriciel | Niveau 3

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Soit $A$ une matrice de rang $r$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q13

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(a 0 b a); a, b \in R} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q14

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $M_{2} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et $f$ l’application définie par

f : M_{2} (R) \to R, M = (a c b d) \mapsto tr (M) = a + d .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q15

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $M_{2} (R)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels et $f$ l’application définie par

f : M_{2} (R) \to M_{2} (R), M = (a c b d) \mapsto M -^{t} M = (0 c - b b - c 0) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q16

Quelles sont les assertions vraies ?

Calcul matriciel | Niveau 4

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Soient $a, b \in R$ ,

A = a 00 1 a 0 b 2 a et N = A - a I_{3} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q17

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

A = 100210321 et N = A - I_{3} .

On considère les suites $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ définies par

{u_{n} = u_{n - 1} + 2 v_{n - 1} + 3 w_{n - 1}, v_{n} = v_{n - 1} + 2 w_{n - 1}, w_{n} = w_{n - 1} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q18

Quelles sont les assertions vraies ?

On note $M_{2} (R)$ l’espace des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Soit

E = {M \in M_{2} (R) ∣^{t} M = M} et F = {M \in M_{2} (R) ∣^{t} M = - M} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q19

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $M_{2} (R)$ , on considère la famille

B^{'} = {B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}},

où

B_{1} = (1010), B_{2} = (0011), B_{3} = (0101), B_{4} = (1100) .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q20

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $M_{2} (R)$ , la matrice

A = (0110)

et l’application linéaire

f : M_{2} (R) \to M_{2} (R), M \mapsto A M - M A .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q21

Quelles sont les assertions vraies ?

Inverse d’une matrice | Niveau 1

Nombre de questions : 1

0 / 1réponses choisies

Score : 0 / 1

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients réels et $I_{n}$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?

Q22

Quelles sont les assertions vraies ?

Inverse d’une matrice | Niveau 2

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

On considère les matrices :

A = (1325), B = 121101 11 - 1, C = \frac{1}{4} - 1 32 2 - 2 0 112 .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q23

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les matrices :

A = (5), B = (12 - 2 - 4), C = 111101 1 - 1 0, D = - 1 12 11 - 1 - 2 03 .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q24

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A$ une matrice inversible. On note $^{t} A$ sa transposée. Quelles sont les assertions vraies ?

Q25

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle qu’il existe un entier $m \geq 1$ vérifiant

A^{m} = I_{n} .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q26

Quelles sont les assertions vraies ?

Inverse d’une matrice | Niveau 3

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

On considère la matrice

A = 10 - 1 - 1 11 - 2 12 .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q27

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A = (a_{i, j})$ une matrice carrée. On rappelle qu’une matrice est diagonale si tous ses coefficients hors diagonale sont nuls, symétrique si $^{t} A = A$ , et triangulaire inférieure si $a_{i, j} = 0$ pour tout $i < j$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q28

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n \geq 1$ . On note $^{t} A$ la transposée de $A$ et $rg (A)$ le rang de $A$ . Quelles sont les assertions vraies ?

Q29

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère deux matrices non nulles $A, B \in M_{n} (R)$ telles que

A B = 0.

Quelles sont les assertions vraies ?

Q30

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère trois matrices non nulles deux à deux distinctes $A, B, C \in M_{n} (R)$ telles que

A B = A C .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q31

Quelles sont les assertions vraies ?

Inverse d’une matrice | Niveau 4

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

On considère la matrice

A = (cos x sin x - sin x cos x), x \in R .

Quelles sont les assertions vraies ?

Q32

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle qu’il existe un entier $m \geq 1$ vérifiant

A^{m} + A^{m - 1} + \dots + A + I_{n} = 0.

Quelles sont les assertions vraies ?

Q33

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A$ une matrice nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe un entier $n \geq 1$ tel que

A^{n} = 0.

On note $I_{n}$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?

Q34

Quelles sont les assertions vraies ?

À retenir pour le concours

Toujours commencer par repérer la taille des matrices et la compatibilité des produits avant de lancer un calcul.
Pour le rang, l’image et le noyau, réduire le problème à des paramètres libres ou à des relations linéaires explicites.
Les questions avancées utilisent souvent la transposition, la diagonalisation, la nilpotence ou une décomposition d’espace de matrices.