Cadre référentiel - Analyse

Développements limités

Entraînement progressif sur les développements limités usuels, les opérations sur les DL, les compositions simples et les vérifications rapides des coefficients.

ModeEntraînement

Questions visibles47

Réponses choisies0

Opérations sur les DL | Niveau 1

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Soit $a \in R$ et $f$ une fonction. On dit que $f (x) = o ((x - a)^{n})$ au voisinage de $a$ si $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{( x - a ) ^{n}} = 0$ . On note aussi $D L_{n} (a) f (x)$ le développement limité de $f$ à l’ordre $n$ en $a$ . Soit maintenant $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $0$ telle que $f (0) = 0$ et

D L_{4} (0) f (x) = x + x^{2} + o (x^{4}) .

On peut en déduire que :

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que

D L_{3} (0) f (x) = x + x^{3} + o (x^{3})

D L_{3} (0) g (x) = - x + x^{3} + o (x^{3}) .

On peut en déduire que :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Opérations sur les DL | Niveau 2

Nombre de questions : 7

0 / 7réponses choisies

Score : 0 / 7

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Les égalités suivantes portent sur des développements limités en $0$ . Cocher celles qui sont vraies :

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q10

Quelles sont les assertions vraies ?

On rappelle que $tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q11

Quelles sont les assertions vraies ?

On pose $f (x) = arcsin x$ et $g (x) = arctan x$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q12

Quelles sont les assertions vraies ?

Opérations sur les DL | Niveau 3

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q13

Quelles sont les assertions vraies ?

Pour un DL au voisinage de $+ \infty$ , on pose souvent $t = \frac{1}{x}$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q14

Quelles sont les assertions vraies ?

On pose encore $t = \frac{1}{x}$ , de sorte que $x \to + \infty ⟺ t \to 0^{+}$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q15

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère

f (x) = \frac{ln ( 1 + x + x ^{2} )}{1 + 2 x - 1} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q16

Quelles sont les assertions vraies ?

Opérations sur les DL | Niveau 4

Nombre de questions : 13

0 / 13réponses choisies

Score : 0 / 13

Soient

f (x) = \frac{1}{1 + sin x} et g (x) = \frac{1}{1 + cos x} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q17

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = ln (1 + sin x) et g (x) = ln (1 + cos x) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q18

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f (x) = arctan x$ . Pour $t \neq = 0$ , on pose

g (t) = f (\frac{1}{t}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q19

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = e^{s i n x} et g (x) = e^{c o s x} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q20

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = ln (\frac{x}{e ^{x} - 1}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q21

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = (1 + x)^{1/ x} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q22

Quelles sont les assertions vraies ?

Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q23

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = arctan (1 + x) et g (x) = arctan (cos x) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q24

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{ln ( 1 + t )}{1 + t} d t et g (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{1 + x} .

Alors :

Q25

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = (1 + x)^{1/ (e^{x} - 1)} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q26

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = x^{2} + x - x^{2} - 1 .

On considère la fonction $g$ définie par

g (t) = f (\frac{1}{t}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q27

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = arctan (\frac{x}{x + 1}) .

On considère la fonction $g$ définie par

g (t) = f (\frac{1}{t}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q28

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient $f$ et $g$ définies par

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1} ln (\frac{x + 1}{x}) et g (t) = f (\frac{1}{t}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q29

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications des DL | Niveau 1

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q30

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = \frac{ln x}{x ^{2} - 1} et g (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{2 x + x ^{2}} .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q31

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications des DL | Niveau 2

Nombre de questions : 1

0 / 1réponses choisies

Score : 0 / 1

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q32

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications des DL | Niveau 2 - suite

Nombre de questions : 5

0 / 5réponses choisies

Score : 0 / 5

Soit $f$ telle que

f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{x + x ^{2}} si x \neq = 0, f (0) = 1.

On note $T_{0}$ la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $0$ lorsqu’elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q33

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + 2} et g (x) = f (x - 1) .

On note $T$ la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $- 1$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q34

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = x - sin x .

On note $T_{0}$ la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $0$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q35

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = x ln (\frac{x + 1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et on pose

g (x) = f (\frac{1}{x}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q36

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = x^{2} ln (\frac{x + 1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et on pose

g (x) = x f (\frac{1}{x}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q37

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications des DL | Niveau 3

Nombre de questions : 6

0 / 6réponses choisies

Score : 0 / 6

Soit

f (x) = 2 + x^{2} .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et on pose

g (x) = x f (\frac{1}{x}) .

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q38

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = 1 + 2 x - 1 et g (x) = ln (1 + x) .

On note $T_{0}$ la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $0$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q39

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ telle que

f (x) = \frac{e ^{2 x} - 1}{x ^{2} + 2 sin x} si x \neq = 0, f (0) = 1.

On note $T_{0}$ la tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $0$ lorsqu’elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q40

Quelles sont les assertions vraies ?

Soient

f (x) = 1 + 2 x - 3 1 + 3 x et g (x) = 1 - cos x .

On note $T_{0}$ la tangente au graphe de $f$ au point $0$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q41

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que

f (x) = (1 + x) e^{1/ (x + 1)} et g (x) = x f (\frac{1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et $Δ$ la droite d’équation

y = x + 2.

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q42

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ telle que

f (x) = \frac{2}{sin ( x ^{2} )} + \frac{2}{ln ( 1 - x ^{2} )} si x \neq = 0, f (0) = 1.

La tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $0$ lorsqu’elle existe est notée $T_{0}$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q43

Quelles sont les assertions vraies ?

Applications des DL | Niveau 4

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que

f (x) = x arctan x et g (x) = x f (\frac{1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et $Δ$ la droite d’équation

y = \frac{π}{2} x - 1.

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q44

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que

f (x) = x^{2} arctan \frac{1}{1 + x ^{2}} et g (x) = f (\frac{1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et $Δ$ la droite d’équation $y = 1$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q45

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

f (x) = x arctan (\frac{1}{1 + x ^{2}}) .

On considère la fonction $g$ telle que

g (x) = f (\frac{1}{x})

et on note $Γ$ le graphe de $f$ . Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q46

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que

f (x) = x^{2} + 1 \cdot e^{1/ (x + 1)} et g (x) = x f (\frac{1}{x}) .

On note $Γ$ le graphe de $f$ et $Δ$ la droite d’équation

y = x + 1.

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Q47

Quelles sont les assertions vraies ?

À retenir pour le concours

Commencer par identifier le développement usuel à utiliser : logarithme, exponentielle, sinus, cosinus ou binôme.
Après substitution, vérifier l’ordre exact du petit o pour éviter les faux coefficients.
Pour les sommes, produits et compositions, garder seulement les termes utiles jusqu’à l’ordre demandé.