Cadre référentiel - Algèbre linéaire

QCM d’entraînement - Espaces vectoriels

Entraînement progressif sur les sous-espaces vectoriels, la stabilité, les familles libres ou génératrices, les bases, la dimension et quelques questions de type Taylor-polynômes.

ModeEntraînement

Questions visibles56

Réponses choisies0

Espaces vectoriels | Niveau 1

Nombre de questions : 4

0 / 4réponses choisies

Score : 0 / 4

Soit

E = {(x, y) \in R^{2}; x + y = 1},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; x - y + z = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y) \in R^{2}; x - y \geq 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; x - y + z = x + y - 3 z = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels | Niveau 2

Nombre de questions : 8

0 / 8réponses choisies

Score : 0 / 8

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; x y + x z + y z = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; (x + y) (x + z) = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y) \in R^{2}; e^{x} e^{y} = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y) \in R^{2}; e^{x} e^{y} = 1},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y) \in R^{2}; e^{x} - e^{y} = 0},

muni des opérations usuelles.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel.

Q10

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel non nul et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que

F ⊈ G et G ⊈ F .

Q11

Quelles sont les assertions vraies ?

Q12

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels | Niveau 3

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

Soit $R_{2} [X]$ l’espace des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $2$ , muni des opérations usuelles et

E = {P \in R_{2} [X]; P (1) = 1} .

Q13

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $n$ un entier $\geq 1$ et

E = {P \in R [X]; de g P = n},

muni des opérations usuelles.

Q14

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $n$ un entier $\geq 1$ et

E = {P \in R [X]; de g P < n},

muni des opérations usuelles.

Q15

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels | Niveau 4

Nombre de questions : 10

0 / 10réponses choisies

Score : 0 / 10

Soit

E = {f : R \to R; f est croissante sur R} .

Q16

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {f : R \to R; f est born \overset{e}{ˊ} e sur R} .

Q17

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {f : R \to R; f est d \overset{e}{ˊ} rivable sur R et f^{'} (1) = 1} .

Q18

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {f : R \to R; f est d \overset{e}{ˊ} rivable sur R et f^{'} (1) = 0} .

Q19

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {f : [0, 1] \to R; f est continue sur [0, 1] et \int_{0}^{1} f (t) d t = 1} .

Q20

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {f : [0, 1] \to R; f est continue sur [0, 1] et \int_{0}^{1} f (t) d t = 0} .

Q21

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère

E = (R^{*})^{2}

muni de l’addition et de la multiplication par un réel suivantes :

(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x x^{'}, y y^{'})

λ (x, y) = (λ x, λ y) .

Q22

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $R^{2}$ muni de l’addition et de la multiplication par un réel suivantes :

(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + y^{'}, x^{'} + y)

λ (x, y) = (λ x, λ y) .

Q23

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $R^{2}$ muni de l’addition et de la multiplication par un réel suivantes :

(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'})

λ (x, y) = (λ x, y) .

Q24

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $R^{2}$ muni de l’addition et de la multiplication par un réel suivantes :

(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'})

λ (x, y) = (λ^{2} x, λ^{2} y) .

Q25

Quelles sont les assertions vraies ?

Base et dimension | Niveau 1

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

Dans $R^{3}$ , on considère les vecteurs :

u_{1} = (1, 1, 0), u_{2} = (0, 1, - 1), u_{3} = (- 1, 0, - 1) .

Q26

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R^{3}$ , on considère les vecteurs :

u_{1} = (1, 1, 1), u_{2} = (0, 1, 1), u_{3} = (- 1, 1, 0) .

Q27

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; x - y - z = 0} .

Q28

Quelles sont les assertions vraies ?

Base et dimension | Niveau 2

Nombre de questions : 9

0 / 9réponses choisies

Score : 0 / 9

Dans $R^{3}$ , on considère les vecteurs :

u_{1} = (- 1, 1, 2), u_{2} = (0, 1, 1), u_{3} = (- 1, 0, 1), u_{4} = (0, 2, 1) .

Q29

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R^{4}$ , on considère les vecteurs :

u_{1} = (1, 1, - 1, 0), u_{2} = (0, 1, 1, 1), u_{3} = (1, - 1, a, b),

où $a$ et $b$ sont des réels.

Q30

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R_{1} [X]$ , on considère :

P_{1} = X + 1, P_{2} = X - 1, P_{3} = 1.

Q31

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R_{2} [X]$ , on considère :

P_{1} = X, P_{2} = X (X + 1), P_{3} = (X + 1)^{2} .

Q32

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R_{2} [X]$ , on considère :

P_{1} = 1 - X, P_{2} = 1 + X, P_{3} = X^{2}, P_{4} = 1 + X^{2} .

Q33

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z, t) \in R^{4}; x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 0} .

Q34

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z, t) \in R^{4}; ∣ x + y ∣ e^{z + t} = 0} .

Q35

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z) \in R^{3}; y - x + z = 0 et x = 2 y} .

Q36

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x + z, z, z); x, z \in R} .

Q37

Quelles sont les assertions vraies ?

Base et dimension | Niveau 3

Nombre de questions : 10

0 / 10réponses choisies

Score : 0 / 10

Dans $R_{3} [X]$ , on considère :

P_{1} = X^{3} + 1, P_{2} = P_{1}^{'}, P_{3} = P_{1}^{''} .

Q38

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ de dimension $3$ et $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ des vecteurs linéairement indépendants de $E$ .

Q39

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {(x, y, z, t) \in R^{4}; (x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = 0} .

Q40

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $n$ un entier $\geq 3$ et

E = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n}; x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}} .

Q41

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans l’espace vectoriel $R^{3}$ , on pose :

u_{1} = (1, 0, 1), u_{2} = (- 1, 1, 1), u_{3} = (1, - 1, 0),

et on considère :

E = Vect {u_{1}, u_{2}}, F = Vect {u_{3}} .

Q42

Quelles sont les assertions vraies ?

On note $R_{2} [X]$ l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\leq 2$ . Soit :

E = {P \in R_{2} [X]; P (1) = P^{'} (1) = 0} .

Q43

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

E = {P = a X^{3} + b (X^{3} - 1); a, b \in R} .

Q44

Quelles sont les assertions vraies ?

Q45

Quelles sont les assertions vraies ?

Q46

Quelles sont les assertions vraies ?

Q47

Quelles sont les assertions vraies ?

Base et dimension | Niveau 4

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

Soit $n$ et $p$ deux entiers tels que $n > p \geq 1$ , $E$ un espace vectoriel sur $R$ de dimension $n$ , et $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{p}$ des vecteurs linéairement indépendants de $E$ .

Q48

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les fonctions réelles $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ définies par :

f_{1} (x) = sin x, f_{2} (x) = cos x, f_{3} (x) = sin x cos x,

et $E$ l’espace engendré par ces fonctions.

Q49

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $n$ un entier $\geq 2$ . On considère les fonctions réelles $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ , définies par :

f_{1} (x) = e^{x}, f_{2} (x) = e^{2 x}, \dots, f_{n} (x) = e^{n x},

et $E$ l’espace vectoriel engendré par ces fonctions.

Q50

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

On considère les deux sous-espaces vectoriels de $R^{4}$ :

E = Vect {u_{1}, u_{2}, u_{3}},

où

u_{1} = (1, - 1, 0, 1), u_{2} = (1, 0, 1, 0), u_{3} = (3, - 1, 1, 2),

F = {(x, y, z, t) \in R^{4}; x + y - z = 0 et y + z = 0} .

Q51

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les deux sous-espaces vectoriels de $R^{4}$ :

E = {(x, y, z, t) \in R^{4}; x + y = 0 et y + z = 0}

F = {(x, y, z, t) \in R^{4}; x + y + z + t = 0} .

Q52

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère les deux sous-espaces vectoriels de $R^{4}$ :

E = {(x, y, z, t) \in R^{4}; x - y = 0, y - z = 0, t = 0}

F = {(x, y, z, t) \in R^{4}; z = x + y} .

Q53

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

Dans $R_{3} [X]$ , on considère :

E = {P \in R_{3} [X]; P (0) = P (1) = 0}

F = {P \in R_{3} [X]; P^{'} (0) = P^{''} (0) = 0} .

Q54

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans $R_{3} [X]$ , on considère :

E = {P = a (X - 1)^{2} + b (X - 1) + c; a, b, c \in R}

F = {P = a X^{3} + b X^{2}; a, b \in R} .

Q55

Quelles sont les assertions vraies ?

Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3

Nombre de questions : 1

0 / 1réponses choisies

Score : 0 / 1

Dans $R_{3} [X]$ , on considère :

E = {P \in R_{3} [X]; P (- X) = P (X)}

F = {P \in R_{3} [X]; P (- X) = - P (X)} .

Q56

Quelles sont les assertions vraies ?

À retenir pour le concours

Pour décider si un ensemble est un espace vectoriel, vérifier d’abord la présence du vecteur nul puis la stabilité par somme et par produit par un scalaire.
Les questions de base et dimension se résolvent vite en distinguant indépendance linéaire, génération et nombre de degrés de liberté.
Quand un énoncé impose des valeurs ou des dérivées d’un polynôme, la forme de Taylor est souvent le raccourci le plus sûr.