Cadre référentiel – Mathématiques fondamentales

QCM d’entraînement – Fonctions d’une variable réelle

Les questions suivantes portent sur les limites de fonctions d’une variable réelle : racine carrée, valeur absolue, périodicité, densité des rationnels et irrationnels, monotonie et fonctions puissance.

ModeEntraînement

Questions visibles92

Réponses choisies0

Limites des fonctions réelles

Nombre de questions : 21

0 / 21réponses choisies

Score : 0 / 21

Soit

f (x) = \frac{x}{x + x} .

Alors :

Soit

f (x) = x - \frac{∣ x ∣}{x} .

Alors :

Soit

f (x) = \frac{x}{∣ x - 1∣} - \frac{3 x - 1}{∣ x ^{2} - 1∣} .

Alors :

Soit

f (x) = sin x .

Alors :

Soit

f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{x} .

Alors :

Soit

f (x) = \frac{sin x}{x} .

Alors :

Soit

f (x) = \frac{sin ( 3 x )}{sin ( 4 x )} .

Alors :

Soit

f (x) = \frac{cos x - 1}{x ^{2}} .

Alors :

Soit

f (x) = x E (\frac{1}{x}),

où $E$ désigne la partie entière. Quelles sont les assertions vraies quand $x \to 0$ ?

Alors :

Pour la même fonction $f (x) = x E (\frac{1}{x})$ , où $E$ désigne la partie entière, quelles sont les assertions vraies quand $x \to \pm \infty$ ?

Q10

Alors :

Soit $f$ définie sur $[0, 1]$ par

f (x) = {x - 1, si x \in R ∖ Q, 1, si x \in Q .

Q11

Alors :

Soit $f$ définie sur $] 0, 1 [$ par $f (x) = 1$ si $x \in R ∖ Q$ et $f (x) = \frac{1}{m}$ si $x = \frac{n}{m}$ est une fraction irréductible. Quelles sont les assertions vraies quand $x \to 1^{-}$ ?

Q12

Alors :

Soit $f : R \to R$ une fonction croissante.

Q13

Alors :

Soit

f (x) = \frac{x + 1 - 1}{3 x + 1 - 1} .

Q14

Alors :

Soit

f (x) = x + 5 1 - x^{5} .

Q15

Alors :

Soit

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 3 - a x x + b, a, b \in R .

$f$ admet une limite finie en $+ \infty$ si et seulement si :

Q16

Alors :

Soit $f$ définie sur $] \frac{3}{2}, + \infty [∖ {2}$ par

f (x) = {a \frac{x - 1 - 1}{x - 2}, si x < 2, \frac{2 x - 3 - b}{x - 2}, si x > 2.

$f$ admet une limite finie quand $x \to 2$ si et seulement si :

Q17

Alors :

Soit

f (x) = \frac{( 2 x ) ^{x}}{x ^{2 x}} .

Q18

Alors :

Soient $a$ et $b$ deux réels, $f$ une fonction définie au voisinage de $a$ , $g$ une fonction définie au voisinage de $b$ . Si

x \to a x \neq = a lim f (x) = b

et si

x \to b x \neq = b lim g (x) = c,

que peut-on affirmer sur $g \circ f$ ?

Q19

Alors :

Quelles sont les propriétés de la fonction $f$ définie par

f (x) = ∣ x ∣^{\frac{1}{x - 1}} ?

Q20

Alors :

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par

f (x) = arcsin \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2 ( x ^{2} + 1 )} .

Les affirmations suivantes sont-elles exactes ?

Q21

Alors :

Fonctions, domaines et continuité

Nombre de questions : 7

0 / 7réponses choisies

Score : 0 / 7

Soit

f (x) = ln (x - 1), g (x) = x + 1 .

Quelles sont les assertions vraies concernant les domaines de définition ?

Q22

Alors :

Soit $f : R \to R$ une fonction à valeurs strictement positives.

Q23

Alors :

Soient $f, g : R \to R$ .

Q24

Alors :

Soient

f :] - \infty, 0 [\to] 0, 1 [, g :] - 2, 2 [\to] 0, + \infty [.

Q25

Alors :

En posant $f (0) = 0$ , quelles fonctions deviennent continues sur $R$ ?

Q26

Alors :

Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui impliquent que $f$ est continue en $x_{0}$ ?

Q27

Alors :

Soit $f : R \to R$ une fonction et $(u_{n})_{n \in N}$ une suite.

Q28

Alors :

Valeurs intermédiaires et bijections

Nombre de questions : 10

0 / 10réponses choisies

Score : 0 / 10

Quelles assertions peut-on déduire du théorème des valeurs intermédiaires ?

Q29

Alors :

Soit

f (x) = x^{2} - 7.

On applique la méthode de dichotomie sur l’intervalle $[2, 3]$ .

Q30

Alors :

Soit $f : [a, b] \to R$ une fonction continue avec $a < b$ .

Q31

Alors :

Soit $f : [0, 1] \to R$ continue avec $f (0) < 0$ et $f (1) > 0$ . Par dichotomie on construit deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ .

Q32

Alors :

Soit $f : [a, b] \to R$ continue avec $a < b$ .

Q33

Alors :

Soit $f : [0, 1] \to R$ continue avec $f (0) > 0$ et $f (1) < 0$ . Par dichotomie on construit deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ .

Q34

Alors :

Soit

f (x) = x sin (π x) - ln (x) - 1

définie sur $] 0, 1]$ .

Q35

Alors :

Soit $f : [a, b] \to [c, d]$ continue avec $a < b$ , $c < d$ , $f (a) = c$ et $f (b) = d$ . Quelles propriétés impliquent que $f$ est bijective ?

Q36

Alors :

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R$ continue. En notant $J = f (I)$ , quelles sont les assertions vraies ?

Q37

Alors :

Soit $f : I \to J$ une fonction continue, où $I$ et $J$ sont des intervalles de $R$ .

Q38

Alors :

Dérivabilité et tangentes

Nombre de questions : 17

0 / 17réponses choisies

Score : 0 / 17

Soit

f (x) = ∣ x - 1∣.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q39

Alors :

Soit

f (x) = 3 (x - 2)^{2} = ∣ x - 2 ∣^{2/3} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q40

Alors :

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q41

Alors :

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q42

Alors :

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q43

Alors :

Soit

f (x) = x^{2} - e^{x^{2} - 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q44

Alors :

Soit

f (x) = x^{4} - x^{3} + 1.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q45

Alors :

Soit

f (x) = \frac{1}{1 + x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q46

Alors :

Soit

f (x) = x^{2} e^{x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q47

Alors :

Soit

f (x) = x ln (1 + x) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q48

Alors :

Soit

f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q49

Alors :

On définit :

f (x) = {e^{x^{2} + x}, si x \leq 0, a arctan x + b, si x > 0.

Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $R$ ?

Q50

Alors :

On définit :

f (x) = {x + x^{2} sin \frac{1}{x}, si x \neq = 0, 0, si x = 0.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q51

Alors :

Soit

f (x) = e^{3 x^{4} - 4 x^{3}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q52

Alors :

Soit

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x + 1} .

Quel est l’ensemble $S$ des points $x_{0}$ où la tangente à $C_{f}$ est parallèle à la droite d’équation $y = x$ ?

Q53

Alors :

Soit

f (x) = \frac{x + 3}{x + 2} .

Quel est l’ensemble $S$ des points $x_{0}$ où la tangente à $C_{f}$ est perpendiculaire à la droite d’équation $y = x$ ?

Q54

Alors :

On considère

f (x) = x^{2} - x

sur l’intervalle $[0, 1]$ . Quelles sont les bonnes réponses ?

Q55

Alors :

Dérivées, convexité et théorèmes

Nombre de questions : 11

0 / 11réponses choisies

Score : 0 / 11

Soit

f (x) = {x^{2} ln (x^{2}), si x \neq = 0, 0, si x = 0.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q56

Alors :

Soit

f (x) = arctan x + arctan \frac{1}{x}

définie sur $R^{*}$ . Quelles sont les bonnes réponses ?

Q57

Alors :

Soit $f$ continue sur $[- 1, 1]$ telle que $f (0) = π$ et, pour tout $x \in] - 1, 1 [$ ,

f^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}} .

Comment peut-on exprimer $f$ ?

Q58

Alors :

Soit

f (x) = x^{3} + x^{2} + x - \frac{13}{12} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q59

Alors :

Soit

f (x) = tan x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q60

Alors :

Soit $f : R \to R$ définie par

f (x) = x^{3} + 3 x + 1.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q61

Alors :

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $] a, b [$ , avec $f (a) = f (b) = 0$ . Pour $α \in / [a, b]$ on pose

g (x) = \frac{f ( x )}{x - α} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q62

Alors :

Soit $n \geq 2$ et

f (x) = \frac{1 + x ^{n}}{( 1 + x ) ^{n}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q63

Alors :

Soit

f (x) = e^{x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q64

Alors :

Soit

f (x) = ln x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q65

Alors :

Soit

f (x) = arcsin (1 - 2 x^{2})

sur $[- 1, 1]$ . Quelles sont les bonnes réponses ?

Q66

Alors :

Fonctions réciproques et équations

Nombre de questions : 12

0 / 12réponses choisies

Score : 0 / 12

Soient

f (x) = arcsin (2 x), g (x) = arccos (x^{2} - 1), h (x) = arctan x .

Q67

Alors :

On pose

A = arcsin (sin \frac{15 π}{7}), B = arccos (cos \frac{21 π}{11}), C = arctan (tan \frac{17 π}{13}) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q68

Alors :

Soient

f (x) = arcsin (cos x), g (x) = arccos (sin x) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q69

Alors :

Soit l’équation

ln (x^{2} - 1) = ln (x - 1) + ln 2.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q70

Alors :

Soit l’équation

e^{2 x} + e^{x} - 2 = 0.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q71

Alors :

Soit

f (x) = 3 1 - x^{3} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q72

Alors :

Soit

f (x) = \frac{ln x}{x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q73

Alors :

Soient

f (x) = 3 1 - x^{2}, g (x) = e^{1/ x} 4 1 - ∣ x ∣ .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q74

Alors :

Soit l’équation

4^{x} - 3^{x} = 3^{x + 1} - 2^{2 x + 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q75

Alors :

Soit l’inéquation

ln ∣1 + x ∣ - ln ∣2 x + 1∣ \leq ln 2.

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q76

Alors :

Soient

f (x) = sin x - x, g (x) = e^{x} - 1 - x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q77

Alors :

Soit

f (x) = arcsin x + arccos x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q78

Alors :

Fonctions usuelles et variations

Nombre de questions : 14

0 / 14réponses choisies

Score : 0 / 14

Soit

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q79

Alors :

Soit

f (x) = (- 1)^{E (x)} .

où $E (x)$ est la partie entière de $x$ . Quelles sont les bonnes réponses ?

Q80

Alors :

Soit

f (x) = \frac{x ^{3}}{x - 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q81

Alors :

Soit

f (x) = x + 1 - x^{2} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q82

Alors :

Soit l’équation

x^{x} = (x)^{x + 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q83

Alors :

On considère le système

{2^{x} = y^{2}, 2^{x + 1} = y^{x + 2} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q84

Alors :

Soit l’équation

cos 2 x = sin x .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q85

Alors :

Soit $f$ définie implicitement par

arcsin f (x) + arcsin x = \frac{π}{2} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q86

Alors :

Soit

f (x) = arcsin (\frac{2 x}{1 + x ^{2}}) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q87

Alors :

Soit

f (x) = arccos (\frac{1 - x ^{2}}{1 + x ^{2}}) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q88

Alors :

Soit

f (x) = arcsin (sin x) + arccos (cos x) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q89

Alors :

Soit

f (x) = exp (\frac{ln ^{2} ∣ x ∣}{ln ^{2} ∣ x ∣ + 1}) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q90

Alors :

Soit

f (x) = x^{x} (1 - x)^{1 - x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q91

Alors :

Soit

f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q92

Alors :

À retenir pour le concours

Les limites remarquables et les équivalents usuels permettent de simplifier la plupart des quotients classiques.
La densité des rationnels et des irrationnels sert à construire des suites d’approche qui testent l’existence d’une limite.
Pour une fonction monotone, l’existence de la limite en l’infini se lit directement à partir de sa majoration ou non.