Cadre référentiel – Géométrie

QCM d’entraînement – Géométrie de l’espace

Les questions suivantes portent sur les produits scalaire et vectoriel, les plans, les droites de l’espace, les intersections, les distances et les configurations classiques de géométrie dans l’espace.

ModeEntraînement

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Nombre de questions : 30

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Score : 0 / 30

Soient les vecteurs $u = (1, 1, 1), v = (1, - 1, 0), w = (0, 1, 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soient les points $A (1, 1, 1), B (0, 1, 1), C (1, 0, 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soient les vecteurs $u = (- 1, 1, 1), v = (0, 1, 2), w = (1, 0, - 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soit $(P)$ le plan passant par $A (1, 1, 0)$ et de vecteur normal $n = (1, - 1, 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soit $(P)$ le plan passant par $A (- 1, 1, 1)$ et dirigé par les vecteurs $u = (0, 1, 1), v = (1, 0, 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soit $(P)$ le plan passant par les points $A (0, 1, 0), B (1, - 1, 0), C (0, 1, 1) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soit $(D)$ la droite passant par le point $A (2, - 1, 1)$ et dirigée par le vecteur $u = (- 1, 1, 0) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Soit $(D)$ la droite passant par le point $A (- 1, 1, 2)$ et perpendiculaire au plan d’équation cartésienne $x + y + z = 1.$ Quelles assertions sont vraies ?

Soient $(D)$ et $(D^{'})$ les droites de représentations paramétriques $D : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = t z = - 1 + a t (t \in R)$ et $D^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 3 + b t y = - t z = 1 + t (t \in R) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Q10

Soient les plans $P : x + y - z = 0, P^{'} : x - y = 2, P^{''} : y - z = 3.$ L’intersection de ces trois plans est :

Q11

Soient les plans $P : x - y - z = - 2, P^{'} : x + z = 2$ et la droite $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 + 2 t z = 1 - t (t \in R) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Q12

Soient les plans $P : x + y - z = 1, P^{'} : x + z = - 1$ et $(Q)$ le plan passant par $A (1, 1, 1)$ et perpendiculaire à $(P)$ et à $(P^{'})$ . Quelles assertions sont vraies ?

Q13

On considère la droite $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = t z = - 1 + 2 t (t \in R)$ et le plan $(P)$ passant par $A (0, 1, 1)$ et perpendiculaire à cette droite. Quelles assertions sont vraies ?

Q14

On considère les deux plans $P : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t + s y = - 1 + t z = 2 + t - s (t, s \in R)$ et $P^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = t + s z = 2 + 2 s (t, s \in R) .$ Quelles assertions sont vraies ?

Q15

Soient $(P)$ et $(P^{'})$ deux plans non parallèles d’équations $a x + b y + cz + d = 0$ et $a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z + d^{'} = 0$ respectivement. Soit $(D = P \cap P^{'})$ et $(Q)$ un plan contenant $(D)$ . Quelles assertions sont vraies ?

Q16

Soit $(D)$ la droite d’équations ${x + z = 1 x - y = - 1$ et $(P)$ le plan contenant $(D)$ et perpendiculaire au plan $(Q)$ d’équation $x - z + 3 = 0.$ Une équation cartésienne de $(P)$ est :

Q17

Soit $(D)$ la droite d’équations ${x - y = - 1 y - z = 0$ et $(P)$ le plan contenant $(D)$ et parallèle à la droite $(D^{'})$ d’équations ${x + z = 0 x - y = 2 .$ Une équation cartésienne de $(P)$ est :

Q18

Soit $((P_{n}), n \in N)$ la famille de plans d’équations $n^{2} x + (2 n - 1) y + n z = 3.$ On note $E$ l’intersection de ces plans. Quelles assertions sont vraies ?

Q19

On considère les droites $D_{1} : {x = z - 1 y = 2 z + 1$ et $D_{2} : {y = 3 x z = 1 .$ Soient $(P_{1})$ et $(P_{2})$ des plans parallèles contenant respectivement $(D_{1})$ et $(D_{2})$ . Quelles assertions sont vraies ?

Q20

Soient les droites $D_{1} : {y = x + 2 z = x$ et $D_{2} : {y = 2 x + 1 z = 2 x - 1$ et $Δ$ une droite parallèle au plan $(x O y)$ rencontrant $(D_{1})$ , $(D_{2})$ et l’axe $(O z)$ . Quelles assertions sont vraies ?

Q21

Soit le point $A (1, 1, 1)$ et le plan d’équation cartésienne $x + y + z + 1 = 0.$ La distance de $A$ à ce plan est :

Q22

Soit le point $A (- 1, 1, 0)$ et le plan passant par $B (1, 0, 1)$ et dirigé par les vecteurs $u = (1, 1, 1), v = (1, 0, - 1) .$ La distance de $A$ à ce plan est :

Q23

Soit le point $A (2, 0, 1)$ et la droite d’équations ${x + y - z = 1 x - y = - 1 .$ La distance de $A$ à cette droite est :

Q24

On considère les droites $D_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = - t z = 1 + t (t \in R)$ et $D_{2} : {y = 2 x - z = 2 .$ La distance entre $(D_{1})$ et $(D_{2})$ est :

Q25

Soit $(D)$ la droite passant par $A (1, - 1, 0)$ et dirigée par le vecteur $u = (1, 1, - 1) .$ Soit $M (1, - 1, 3)$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$ . Les coordonnées de $H$ sont :

Q26

On considère les droites $D_{1} : {x + y - z = 1 x - y = - 1$ et $D_{2} : {x - y + z = - 1 x - z = 1$ et $Δ$ la perpendiculaire commune à $(D_{1})$ et $(D_{2})$ . Quelles assertions sont vraies ?

Q27

Soient le point $A (1, 1, 1)$ , la droite $(D)$ définie par ${x = 1 + z y = z$ et un plan $(P)$ contenant $(D)$ tel que la distance de $A$ à $(P)$ soit égale à $\frac{1}{2}$ . Une équation cartésienne de $(P)$ est :

Q28

Soient les plans $P_{1} : z + 3 = 0$ et $P_{2} : 2 x + y + 2 z - 1 = 0$ et $π$ un plan bissecteur de $(P_{1})$ et $(P_{2})$ . Une équation cartésienne de $π$ est :

Q29

Soit

E

l’ensemble des points situés à la même distance des axes de coordonnées. Quelles assertions sont vraies ?

Q30

Soit la droite $D : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 3 t y = 1 z = - 1 - t t \in R$ et un plan $(P)$ contenant $(D)$ à une distance $1$ de l’origine. Une équation cartésienne de $(P)$ est :

À retenir pour le concours

Identifier vite un vecteur normal ou directeur permet de passer instantanément des équations aux représentations paramétriques.
Les intersections de plans et les plans contenant une droite se traitent presque toujours avec une lecture propre des vecteurs directeurs.
Pour les distances, les produits vectoriels et les formules de distance point-plan restent les outils les plus rentables.