QCM d’entraînement – Géométrie du plan

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}=(1,1)\text{et}\vec{v}=(1,\sqrt{3}).$ Quelle est la mesure $\alpha \in [0,2\pi [$ de l’angle orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Dans le plan muni d’une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},a\right)\text{et}\vec{v}=\left(a,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$ Comment choisir le réel $a$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée ?

Dans le plan muni d’une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}=\left(\frac{1}{2},a\right)\text{et}\vec{v}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},b\right).$ Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée ?

Dans le plan muni d’une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $|\vec{u}|=3,|\vec{v}|=3,\widehat{(\vec{u},\vec{v})}=\frac{\pi }{3}.$ Quelle est la norme de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

On considère les points $A(1,1),B(-1,1),C(1,-1).$ Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit $(D)$ la droite définie par le paramétrage $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\end{array}t\in \mathbb{R}.$ Quelles sont les bonnes réponses ?

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $(D)$ passant par les points $A(1,1)\text{et}B(2,3).$ Quelles sont les bonnes réponses ?

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A(1,2),B(2,1),C(-2,1).$ Quelle est la distance $d$ du point $C$ à la droite $(AB)$ ?

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $(D)$ définie par le paramétrage $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\end{array}t\in \mathbb{R}.$ Quelle est la distance $d$ du point $M(2,3)$ à la droite $(D)$ ?

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(a,b)\text{et}B(1,1).$ Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que l’aire du triangle de sommets $(O,A,B)$ soit égale à $1$ ?

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\vec{u}=\left(\frac{1}{2},a\right)\text{et}\vec{v}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},b\right).$ Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée directe ?

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(a,b)\text{et}B(1,1).$ Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que le triangle de sommets $(O,A,B)$ soit rectangle et isocèle en $A$ ?

Soit $(D)$ la droite définie par l’équation cartésienne $x-2y=4.$ Quelles sont les coordonnées $(a,b)$ du projeté orthogonal $H(a,b)$ du point $M(1,1)$ sur $(D)$ ?

On considère trois points $A$, $B$ et $C$ du plan tels que $(AB):x-2y+3=0\text{et}(AC):2x-y-3=0.$ Quelles sont les bonnes réponses ?

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ et on note $(D)$ une droite perpendiculaire à $\Delta$ et qui est à distance $1$ de l’origine. Une équation cartésienne de $(D)$ est :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d’équation $x=y$ et on note $(D)$ une droite parallèle à $\Delta$ et qui est à distance $1$ de l’origine. Une équation cartésienne de $(D)$ est :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d’équation $x=y$ et on note $(D)$ une droite perpendiculaire à $\Delta$ et qui est à distance $0$ de l’origine. Une représentation paramétrique de $(D)$ est :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ et on note $(D)$ une droite parallèle à $\Delta$ et qui est à distance $0$ de l’origine. Une représentation paramétrique de $(D)$ est :