Matrice d’une application linéaire

On considère $\mathbb{R}$ et ${\mathbb{R}}^2$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l’application linéaire définie par :

La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :

On considère $\mathbb{R}$ et ${\mathbb{R}}^2$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l’application linéaire définie par :

La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :

On considère ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$ munis de leurs bases canoniques et $f$ l’application linéaire définie par :

La matrice de $f$ relativement aux bases canoniques est :

On considère ${\mathbb{R}}^2$ muni de sa base canonique et $f$ l’application linéaire définie par :

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique et $f$ l’application linéaire définie par :

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans ${\mathbb{R}}^2$, on considère la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2)$ et la base ${\mathcal{B}}^{\prime }=(u_1,u_2)$, où :

et

On note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ à la base $\mathcal{B}$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ et la base ${\mathcal{B}}^{\prime }=(u_1,u_2,u_3)$, où :

On note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ à la base $\mathcal{B}$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Dans ${\mathbb{R}}_2[X]$, l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$, on considère la base canonique :

et la base :

où :

On notera $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ à la base $\mathcal{B}$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

et $f$ l’application linéaire définie par :

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique notée $\mathcal{B}$ et $f$ l’application linéaire définie par :

Soit ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{u_1,u_2,u_3\}$, où :

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique notée $\mathcal{B}$ et $f$ l’application linéaire définie par :

Soit :

Quelles sont les assertions vraies ?

On note ${\mathbb{R}}_2[X]$ l’espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$ muni de sa base canonique $\mathcal{B}=\{1,X,X^2\}$. On considère l’application linéaire :

Soit la base :

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit

et ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{u_1,u_2\}$ avec

On note $P$ la matrice de passage associée à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $B$ la matrice de l’endomorphisme associé à $A$ dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire $f:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$ qui à tout polynôme $P$ associe le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1{)}^2$.

Soit la base :

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère l’application linéaire :

On note ${\mathcal{B}}_1=\{1,X,X^2\}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}_2[X]$ et $\mathcal{B}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

On considère aussi la base :

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A$ une matrice inversible d’ordre $n\ge 1$ et $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ l’application linéaire de matrice $A$ dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $\mathcal{F}$ l’espace vectoriel des fonctions réelles engendré par les fonctions $f_1,f_2,f_3$ définies par :

On munit $\mathcal{F}$ des bases :

et

On note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $Q$ la matrice de passage de la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ à la base $\mathcal{B}$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

On note $I$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

On note $Id$ l’application identité de ${\mathbb{R}}^3$. Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

Soit

et

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A$ une matrice réelle à $3$ lignes et $4$ colonnes. Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $A$ une matrice réelle à $4$ lignes et $3$ colonnes. Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $\mathcal{F}$ l’espace vectoriel des fonctions réelles engendré par les fonctions $f_1,f_2,f_3$ définies par :

Soit $\varphi :\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ définie par :

où $f^{\prime }$ et $f^{\prime \prime }$ désignent les dérivées première et seconde de $f$. On note $M$ la matrice de $\varphi$ dans la base

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ et $f$ un endomorphisme non nul de $E$ tel que :

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère $M_2(\mathbb{R})$, l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre $2$ à coefficients réels, muni des deux bases :

et

où

On note $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $Q$ la matrice de passage de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ à $\mathcal{B}$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

Soit

où

On note $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ est :

Soit

où

Quelles sont les assertions vraies ?

Soit $f$ l’endomorphisme de ${\mathbb{R}}^4$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}$ est :

Soit

où

On considère aussi les suites $(u_n),(v_n),(w_n),(k_n)$ définies par

pour $n\ge 1$.

Quelles sont les assertions vraies ?

On considère ${\mathbb{R}}_3[X]$ muni de sa base canonique

et l’endomorphisme $f$ défini par