Cadre référentiel – Algèbre

QCM d’entraînement – Polynômes et fractions rationnelles

Les questions suivantes portent sur la dérivation des polynômes, la division euclidienne, le pgcd, les racines, la factorisation et les décompositions en éléments simples.

ModeEntraînement

Questions visibles27

Réponses choisies0

Nombre de questions : 27

0 / 27réponses choisies

Score : 0 / 27

Soit

P

un polynôme de degré

\geq 2

. Quelles assertions sont vraies, quel que soit

P

On associe à

P (X) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}

le polynôme dérivé

P^{'} (X) = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k} X^{k - 1}

. Quelles assertions sont vraies ?

Soit

P (X) = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{0}

de degré

n \geq 1

. On pose

Q (X) = P (X - \frac{a _{n - 1}}{n})

. Quelles assertions sont vraies ?

Soit

P (X) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}

et son dérivé

P^{'} (X)

. Quelles assertions sont vraies ?

Soient

A (X) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}

B (X) = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} X^{j}

C (X) = A (X) B (X) = \sum_{k = 0}^{m + n} c_{k} X^{k}

. Quelles assertions sont vraies ?

Soient

A

B

deux polynômes, avec

B \neq = 0

. Dans la division euclidienne

A = B Q + R

, quelles assertions sont vraies ?

Soient

A

B

deux polynômes, avec

B \neq = 0

. Dans la division euclidienne

A = B Q + R

, quelles assertions sont vraies ?

On divise

A (X) = 2 X^{4} + 3 X^{3} - 8 X^{2} - 2 X + 1

par

B (X) = X^{2} + 3 X + 1

. Quelle assertion est vraie ?

On divise

A (X) = X^{6} - 7 X^{5} + 10 X^{4} + 5 X^{3} - 23 X^{2} + 5

par

B (X) = X^{3} - 5 X^{2} + 1

. Quelles assertions sont vraies ?

Q10

Soient

A (X) = X^{4} - 2 X^{3} - 4 X^{2} + 2 X + 3

B (X) = X^{4} - 2 X^{3} - 3 X^{2}

. Si

D = g cd (A, B)

, quelles assertions sont vraies ?

Q11

Quelles assertions sont vraies au sujet du

g cd

et du

ppcm

de polynômes réels ?

Q12

Dans la division euclidienne

A = B Q + R

avec

de g A = n

de g B = m \leq n

q = de g Q

r = de g R

, quelles assertions sont vraies ?

Q13

Soit

n \geq 2

A (X) = X^{2 n} + X^{2 n - 2}

B (X) = X^{n} + X^{n - 1}

. Quelles assertions sont vraies dans la division euclidienne

A = B Q + R

Q14

Soient

A (X) = X^{4} - X^{2}

B (X) = X^{2} + X - 2

D = g cd (A, B)

dans

R [X]

. Quelles assertions sont vraies ?

Q15

Soit

P \in R [X]

de degré

8

. Quelle assertion est vraie ?

Q16

Soit

P (X) = X^{7} - 5 X^{5} - 5 X^{4} + 4 X^{3} + 13 X^{2} + 12 X + 4

. Quelles assertions sont vraies ?

Q17

Quelles assertions sont vraies au sujet de l’irréductibilité ?

Q18

Soit

P \in R [X]

de degré impair

2 n + 1

avec

n \in N^{*}

. Quelles assertions sont vraies ?

Q19

Soit

P (X) = X^{6} + 4 X^{5} + X^{4} - 10 X^{3} - 4 X^{2} + 8 X

. En convenant qu’une racine double est de multiplicité exactement

2

, quelle assertion est vraie ?

Q20

Soit

P \in Q [X]

. Quelles assertions sont vraies ?

Q21

Soit

P \in K [X]

de degré

n \geq 1

. Quelles assertions sont vraies ?

Q22

Quelles assertions sont vraies au sujet des éléments simples ?

Q23

Soient

P (X) = X - 1

Q (X) = (X + 1)^{2} (X^{2} + X + 1)

. On décompose

F = \frac{P}{Q}

sur

R

. Quelles assertions sont vraies ?

Q24

Soit

\frac{P ( X )}{Q ( X )}

une fraction rationnelle et

E (X)

sa partie polynomiale. Quelles assertions sont vraies ?

Q25

Pour

\frac{3 X}{( X - 2 ) ( X - 1 ) ^{2} ( X ^{2} - X + 1 )} = \frac{a}{X - 2} + \frac{b}{X - 1} + \frac{c}{( X - 1 ) ^{2}} + \frac{d X + e}{X ^{2} - X + 1},

quelles assertions sont vraies ?

Q26

Soit

F (X) = \frac{1}{( X ^{2} + 1 ) X ^{3}} = \frac{a}{X} + \frac{b}{X ^{2}} + \frac{c}{X ^{3}} + \frac{d X + e}{X ^{2} + 1} .

Quelles assertions sont vraies ?

Q27

Soit

F (X) = \frac{X - 1}{X ( X ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{a}{X} + \frac{b X + c}{X ^{2} + 1} + \frac{d X + e}{( X ^{2} + 1 ) ^{2}} .

Quelles assertions sont vraies ?

À retenir pour le concours

Les formules de degré, de dérivation et de produit de Cauchy doivent être reconnues immédiatement.
Les questions de division euclidienne, de pgcd et de factorisation se résolvent vite en combinant calcul et lecture des multiplicités.
En fractions rationnelles, les bons réflexes sont la comparaison des coefficients, les valeurs spéciales et l’étude du comportement à l’infini.