Probabilités

Soit $\mathcal{E}$ une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers qui lui a été associé. Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités respectives $0.5$ et $0.6$.

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?

On suppose maintenant que $\mathbb{P}(A\cup B)=\frac{4}{5}$. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Soit $\omega \in \Omega$. Et supposons que $B\subset A$ dans cette question seulement.

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles désigne(nt) un événement ?

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles n’ont aucun sens, c’est-à-dire ne sont pas correctes au niveau du langage mathématique ?

En France, on considère la population $\mathcal{P}$ des candidats au permis de conduire qui essaient de l’obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l’obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l’ont pas eu du premier coup, $30\%$ d’entre eux l’obtiennent à la seconde tentative. On considère l’expérience aléatoire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette population $\mathcal{P}$.

Dans ce cadre, lequel ou lesquels des deux espaces $\Omega$ ci-dessous peu(ven)t être considéré(s) pour cette expérience ?

On suppose désormais qu’un espace $\Omega$ convenable a été choisi, mais on ne le détaille pas ici ; il permet en tout cas de définir les événements adéquats des questions suivantes. La probabilité d’obtenir le permis au plus tard à la seconde tentative vaut :

Peut-on définir les événements

et

Que vaut la probabilité d’avoir tenté l’épreuve une seconde fois sachant qu’on a obtenu le permis au final ?

Les événements

et

sont-ils :

On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d’un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à 2 choix. On suppose que la société qui gère ce jeu sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.

Dans cette question et les suivantes, on note $\Omega$ l’ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS distincts. Combien d’éléments $\Omega$ contient-il ?

A-t-on équiprobabilité dans cette situation ?

On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) ?

Votre ami(e) fait également partie des personnes ayant envoyé un SMS. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un(e) d’entre vous soit tiré(e) au sort ?

Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 faces équiprobables. On note

pour chaque $i\in \{1,2,3\}$, ainsi que

pour $k\in \{2,3,4,5,6\}$. Parmi les descriptions ci-dessous, laquelle ou lesquelles désigne(nt) une partition de $\Omega$ ?

Parmi les affirmations suivantes, laquelle ou lesquelles est/sont erronée(s) ou n’a/n’ont aucun sens ?

Que vaut la probabilité de $S_5$ ?

Que vaut la probabilité de $S_5\setminus S_2$ ?

Que vaut la probabilité conditionnelle de $S_5$ sachant $S_2$ ?

Soit $n$ un entier non nul et $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. On considère un tableau contenant $n$ cases vides. Quel est le nombre de façons différentes de noircir $k$ de ces cases ?

Soit $n$ un entier non nul et $k$ un entier compris entre $1$ et $n$. On lance $n$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement $k$ piles ?

Dans une équipe de basket, chacun des $12$ joueurs a une probabilité $1/4$ d’être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose ces absences indépendantes. On note $N$ le nombre de joueurs absents durant le mois de juin.

Quelle est la probabilité que $N=3$ ?

On garde le même modèle binomial que dans la question précédente.

Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins $4$ joueurs absents durant le mois de juin ?

Toujours avec la variable binomiale $N$, les familles d’événements

et

constituent-elles des partitions de l’univers $\Omega$ ?

Toujours avec $N\sim \mathcal{B}(12,1/4)$, que valent l’espérance et le premier quartile de $N$ ?

Une personne lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile, en donnant $10$ DH à son voisin à chaque fois qu’elle fait face. On note $N$ le nombre de fois où elle fait face avant d’obtenir pile.

Quelle est la loi de $N$ ?

Avec la même variable géométrique $N$ de paramètre $1/2$, que valent $E(N)$, $\mathrm{Var}(N)$ et $E(N^2)$ ?

Toujours avec la même variable géométrique $N$, que valent $\mathbb{P}(N\ge 2)$ et la médiane de $N$ ?

Le montant total versé au voisin vaut $X=10N$.

Quel est le montant moyen que cette personne devra donner ?

On considère la variable aléatoire $X$ égale à la somme de deux dés équilibrés à six faces.

Quelle est la loi de $X$ ?

Avec la même variable $X$ égale à la somme de deux dés équilibrés, que valent l’espérance et la médiane de $X$ ?

Toujours avec $X$ somme de deux dés équilibrés, que valent $\mathbb{P}(X\ge 4)$ et $\mathrm{Var}(X)$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que

Que peut-on dire de la médiane de $X$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $E(X)=2$ et $\mathrm{Var}(X)=2$. On pose

Peut-on calculer l’espérance de $Y$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1,2\}$ telle que

Quelles valeurs la constante réelle $a$ a-t-elle le droit de prendre ?

Avec la même loi sur $\{0,1,2\}$, quel est le graphe de la fonction de répartition de $X$ parmi les trois graphes suivants ?

Graphes proposés

Toujours avec la loi

que valent l’espérance et la variance de $X$ ?

On pose

Sans déterminer la loi de $Y$, peut-on calculer l’espérance et l’écart-type de $Y$ ?

Toutes les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres.

Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles permettent de définir des densités de lois continues ? Les lettres $c$ et $c^{\prime }$ désignent des constantes qu’il n’est pas obligatoire de calculer, mais qui ont la valeur adéquate pour que les fonctions en question soient des densités, si elles le peuvent.

Soit $X$ le temps de trajet quotidien de Katrin, en heures, variable aléatoire de densité définie par :

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

Si on considère $X$ une variable aléatoire dont la densité est la fonction représentée ci-dessous, laquelle ou lesquelles de ces affirmations sont vraies ?

Densité représentée

On suppose que le temps d’attente, en minutes, d’un bus est une variable aléatoire de densité définie par :

Si l’on suppose que ces temps d’attente pendant $10$ jours sont indépendants et de même loi, quelle est la probabilité qu’on ait, durant ces $10$ jours, à attendre plus de $10$ minutes au moins $3$ fois ?

On considère la variable aléatoire $X$ de densité

On introduit les événements

et

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{N}(0,1)$. On pose

On a bien sûr $f_Y(x)=0$ si $x<0$. Quelle est l’expression de la densité de $Y$ pour $x>0$ ? Ci-dessous, $\phi$ désigne la densité de la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi

Laquelle ou lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ?

Quelle affirmation, parmi les suivantes, est vraie ?

On suppose que $X$ désigne le montant du gain, en DH, que rapporte un employé à son entreprise en un mois, et que

L’entreprise verse à l’employé une prime $Y$ égale à $0$ si ce gain est inférieur à $700$ DH, et, si le gain $X$ excède $700$ DH, la moitié de l’excès en question. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?