Cadre référentiel – Nombres réels

QCM d’entraînement – Rationnels, propriétés des réels et intervalles

Les questions suivantes portent sur les rationnels, la partie entière, la valeur absolue, la propriété d’Archimède, les intervalles, la densité, le maximum et les majorants.

ModeEntraînement

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Soient

x

y

deux nombres rationnels strictement positifs. Parmi les nombres réels suivants, lesquels sont aussi des nombres rationnels ?

Quelles sont les assertions vraies ?

Je veux montrer que

lo g 13

est un nombre irrationnel. On rappelle que

lo g 13

est le réel tel que

1 0^{l o g 13} = 13

. Quelle démarche puis-je adopter ?

Comment s’appellent les propriétés suivantes de

R

Soient

x, y \in R

tels que

x \leq 2 y

. Quelles sont les assertions vraies ?

Notation :

E (x)

désigne la partie entière du réel

x

. Quelles sont les assertions vraies ?

Pour

x \in R

, on définit

f (x) = x - ∣ x ∣

. Quelles sont les assertions vraies ?

Quelles sont les assertions vraies concernant le maximum de nombres réels ?

Q10

Notation :

E (x)

désigne la partie entière du réel

x

. Quelles sont les assertions qui caractérisent la partie entière ?

Q11

Pour

x \in R

, on définit

G (x) = E (10 x)

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q12

Quelles sont les assertions vraies pour

x \in R

Q13

Quelles propriétés découlent de la propriété d’Archimède des réels, c’est-à-dire

R

est archimédien ?

Q14

Quelles sont les assertions vraies ?

Q15

Quelles sont les assertions vraies, pour tout

x, y \in R

Q16

On définit la partie fractionnaire d’un réel

x

par

F (x) = x - E (x)

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q17

Quelles sont les assertions vraies ?

Q18

Quelles sont les assertions vraies ?

Q19

Quelles sont les assertions vraies ?

Q20

Soient

x, y \in R

avec

x < y

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q21

Quelles sont les assertions vraies ?

Q22

Pour

n \geq 1

, on définit l’intervalle

I_{n} = [0, \frac{1}{n}]

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q23

Pour

n \geq 1

, on définit l’intervalle

I_{n} = [0, n]

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q24

Soient

I

J

deux intervalles de

R

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q25

Soit

I

un intervalle ouvert de

R

. Soient

x, y \in R

avec

x < y

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q26

Le maximum d’un ensemble

E

, s’il existe, est le réel

m \in E

tel que pour tout

x \in E

, on a

x \leq m

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q27

On dit que

M \in R

est un majorant d’un ensemble

E \subset R

si pour tout

x \in E

, on a

x \leq M

. Quelles sont les assertions vraies ?

Q28

On dit que

M \in R

est un majorant d’un ensemble

E \subset R

si pour tout

x \in E

, on a

x \leq M

. Quelles sont les assertions vraies ?

À retenir pour le concours

Pour les rationnels et irrationnels, un contre-exemple simple suffit souvent à invalider une affirmation générale.
Les questions sur la partie entière, la partie fractionnaire et les intervalles se traitent mieux en revenant aux définitions exactes.
Sur maximum et majorants, il faut toujours distinguer clairement appartenir à l’ensemble et seulement le majorer.