Cadre référentiel – Mathématiques fondamentales

QCM d’entraînement – Suites numériques

Les questions suivantes portent sur les notions fondamentales relatives aux suites numériques : convergence, divergence, limites, suites monotones, suites géométriques, suites récurrentes, suites extraites et théorèmes de convergence.

ModeEntraînement

Questions visibles20

Réponses choisies0

QCM Question 1 à Question 20

Nombre de questions : 20

0 / 20réponses choisies

Score : 0 / 20

Soit

u_{n} = \frac{2 ^{n + 1} - 3 ^{n + 1}}{2 ^{n} + 3 ^{n}} et v_{n} = \frac{n 2 ^{2 n} - 3 ^{n}}{n 2 ^{2 n} + 3 ^{n}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

u_{n} = (1 - \frac{1}{n})^{n} et v_{n} = (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n})^{n} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

u_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} + 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soient

u_{n} = n^{2} + 4 n - 1 - n et v_{n} = \frac{4 n - 1}{n ^{2} + 4 n - 1 + n} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

u_{n} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

u_{n} = sin (\frac{2 nπ}{3}) et v_{n} = sin (\frac{3}{2 nπ}) .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

u_{n} = \frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} et v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Soit

(u_{n})

une suite réelle. On suppose que

∣ u_{n + 1} - 1∣ \leq \frac{1}{2} ∣ u_{n} - 1∣

pour tout

n \geq 0

. Que peut-on en déduire ?

Soit

(u_{n})

une suite réelle. On suppose que

u_{n} \geq n

pour tout

n \geq 0

. Que peut-on en déduire ?

Q10

Soit

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q11

Soient

a

b

deux réels tels que

a > b > 0

. On pose

u_{n} = \frac{a ^{n} - b ^{n}}{a ^{n} + b ^{n}} et v_{n} = \frac{n a ^{2 n} - b ^{2 n}}{a ^{2 n} + b ^{2 n}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q12

Soit

u_{n} = \frac{1}{n} - \frac{2}{n} + \frac{3}{n} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1} n}{n} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q13

On considère les suites de termes généraux

u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k}, v_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} et w_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q14

Soit

a > 0

. On définit par récurrence une suite

(u_{n})_{n \geq 0}

par

u_{0} > 0

et, pour

n \geq 0

u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2} + a ^{2}}{2 u _{n}} .

Que peut-on en déduire ?

Q15

Soient

(u_{n})

(v_{n})

deux suites réelles. On suppose que

(v_{n})

est croissante non majorée et que

v_{n} < u_{n}

pour tout

n \geq 0

. Que peut-on en déduire ?

Q16

Soit

(u_{n})

une suite croissante. On suppose que

u_{n + 1} - u_{n} \leq \frac{1}{2 ^{n}}

pour tout

n \geq 0

. Que peut-on en déduire ?

Q17

Soit

(u_{n})_{n \geq 0}

la suite définie par

u_{0} \geq 0

u_{n + 1} = ln (1 + u_{n}) .

Que peut-on en déduire ?

Q18

Soit $(u_{n})$ une suite croissante. On suppose que, pour tout $n \geq 0$ ,

0 \leq u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{2 ^{n}} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q19

Soit $(u_{n})$ une suite croissante. On suppose que, pour tout $n \geq 0$ ,

u_{n} + \frac{1}{n + 1} \leq u_{n + 1} .

Quelles sont les bonnes réponses ?

Q20

On admet que

\forall x \in [0, 1 [, ln (1 + x) \leq x \leq - ln (1 - x) .

Soit

u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}, n \geq 1.

Quelles sont les bonnes réponses ?

À retenir pour le concours

La définition formelle de la limite repose sur le quantificateur « à partir d’un certain rang ».
Les équivalents usuels et les factorisations dominantes sont centraux pour traiter les limites de suites.
Une suite monotone et bornée converge, mais une suite oscillante peut avoir des sous-suites convergentes sans converger elle-même.