Cadre référentiel - Algèbre linéaire

QCM d’entraînement - Systèmes d’équations linéaires

Entraînement ciblé sur les systèmes compatibles, incompatibles ou à paramètres, avec réduction par combinaisons linéaires et lecture géométrique des ensembles de solutions.

ModeEntraînement

Questions visibles26

Réponses choisies0

Systèmes d’équations linéaires - Niveau 1

Nombre de questions : 6

0 / 6réponses choisies

Score : 0 / 6

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x - y + z = 0 x - y - z = 0 3 x + 2 y + z = 0.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x + 2 y + z = 0 - x + z = 0 x + y = 0.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x - y + 2 z = 1 - 2 x + 2 y - 4 z = - 2 3 x - 3 y + 6 z = 3.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x + y - z = 2 - x + y + z = 0 2 x + z = - 1.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x - y + z = 1 2 x - 3 y + 4 z = 1 y + z = 1.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x - y + z = 1 2 x - 3 y + 4 z = 1 x - 2 y + 3 z = 1.

Alors :

Systèmes d’équations linéaires - Niveau 2

Nombre de questions : 2

0 / 2réponses choisies

Score : 0 / 2

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x + y + z = 1 x y + z = 0 x - y = - 1.

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ :

(S) {x + y + z = 1 2 x + y - z = - 1 3 x + y - 3 z = - 3 x - 2 z = - 2.

Alors :

Systèmes d’équations linéaires - Niveau 3

Nombre de questions : 15

0 / 15réponses choisies

Score : 0 / 15

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z, t) \in R^{4}$ et de paramètres des réels $a, b, c$ et $d$ :

(S) {x + y = a y + z = b z + t = c t + x = d .

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètres des réels non nuls et distincts $a, b$ et $c$ :

(S) {a x + a y + b z = b b x + b y + cz = c c x + cy + a z = a .

Q10

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètre un réel $m$ :

(S) {x + y + z = - 1 x + 2 y + 3 z = 1 2 x + 3 y + 4 z = m .

Q11

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètre un réel $m$ :

(S) {x - y - z = 1 - x + 2 y - m z = - 3 2 x - y + (m - 1) z = 2 m + 2.

Q12

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z, t) \in R^{4}$ et de paramètres des réels $a$ et $m$ :

(S) {x - z - t = 0 - x + y + z = a 2 x + y - z = m x - m z - t = a x + y + t = m .

Q13

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètre un réel $m$ :

(S) {x + y + m z = 1 x + m y + z = 1 m x + y + z = 1.

Q14

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z, t) \in R^{4}$ et de paramètre un réel $m$ :

(S) {x + y + z + m t = 1 x + y + m z + t = 1 x + m y + z + t = 1 m x + y + z + t = 1.

Q15

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètres des réels $a, b$ et $c$ :

(S) {x + a y + a^{2} z = 0 x + b y + b^{2} z = 0 x + cy + c^{2} z = 0.

Q16

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z, t) \in R^{4}$ et de paramètres des réels $m$ et $a$ :

(S) {x + y + z + m t = 1 x + y + m z + t = a x + m y + z + t = a^{2} m x + y + z + t = a^{3} .

Q17

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x, y, z) \in R^{3}$ et de paramètres des réels $a$ et $m$ :

(S) {2 x + y - z = 2 x - y + z = 4 3 x + 3 y - z = 4 m m x - y + z = 2 a + 2.

Q18

Alors :

Soit $(S)$ un système à $3$ équations linéaires et $2$ inconnues et $(S_{H})$ le système homogène associé.

Q19

Alors :

Soit $(S)$ un système à $3$ équations linéaires et $3$ inconnues et $(S_{H})$ le système homogène associé.

Q20

Alors :

Soit $(S)$ un système d’équations linéaires et $(S_{E})$ un système échelonné obtenu par la méthode de résolution du pivot de Gauss.

Q21

Alors :

Soit $(S)$ un système à $4$ équations et $3$ inconnues, $(S_{E})$ un système échelonné obtenu par la méthode de résolution du pivot de Gauss et $r$ le rang du système $(S)$ , c’est-à-dire le nombre d’équations de $(S_{E})$ ayant un premier membre non nul.

Q22

Alors :

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $\leq 3$ vérifiant les conditions :

P (1) = 1, P (0) = 1, P (- 1) = - 1, P^{'} (1) = 3.

Q23

Alors :

Systèmes d’équations linéaires - Niveau 4

Nombre de questions : 3

0 / 3réponses choisies

Score : 0 / 3

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n}$ , $n \geq 2$ :

(S) {x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 2} + x_{n - 1} + a x_{n} = 1 x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 2} + a x_{n - 1} + x_{n} = 1 x_{1} + x_{2} + \dots + a x_{n - 2} + x_{n - 1} + x_{n} = 1 ⋮ a x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 2} + x_{n - 1} + x_{n} = 1,

où $a$ est un paramètre réel.

Q24

Alors :

On considère le système d’équations, d’inconnue $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n}$ , $n \geq 2$ , et de paramètres des réels $a, b$ :

(S) {x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n} = 1 a x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 1 a x_{1} + a x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 1 ⋮ a x_{1} + \dots + a x_{n - 1} + b x_{n} = 1,

où $a$ et $b$ sont des paramètres réels.

Q25

Alors :

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $\leq 11$ vérifiant les conditions :

P (1) = 1!, P^{'} (1) = 2!, P^{''} (1) = 3!, \dots, P^{(10)} (1) = 11! .

Q26

Alors :

À retenir pour le concours

Toujours repérer rapidement si des équations sont des combinaisons linéaires d’autres pour détecter redondance ou contradiction.
Dans les systèmes à paramètres, isoler l’équation qui fait apparaître la condition de compatibilité avant de conclure sur l’unicité ou l’infinité des solutions.
Une forme équivalente bien choisie permet de lire directement si l’ensemble des solutions est un point, une droite, un plan ou l’ensemble vide.