Mathématiques fondamentales

Série 1 — Géométrie

QCM avancé de géométrie avec figures insérées, réponses cliquables, validation et correction détaillée.

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Série 4 – Géométrie

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Les points $E$ et $F$ sont les milieux de deux côtés opposés du carré $A B C D$ . Les points $G, H, J, K$ et $L$ sont milieux des côtés de triangles auxquels ils appartiennent.

Que vaut le rapport de l’aire de $A B C D$ à celle de $J K L$ ?

Figure Q1

Alors :

Les angles aigus du parallélogramme ci-contre mesurent $6 0^{\circ}$ et les côtés mesurent $2$ et $3$ .

Que vaut l’aire ombrée ?

Figure Q2

Alors :

Dans la figure suivante, les arcs de cercles sont centrés aux sommets du triangle équilatéral $A B C$ , dont le côté vaut $1$ .

Que vaut l’aire ombrée ?

Figure Q3

Alors :

Une sphère est inscrite dans un cube. Un second cube est inscrit dans la sphère.

Quel est le rapport du volume du grand cube à celui du petit ?

Alors :

Le trapèze $A B C D$ est inscrit dans un cercle de rayon $2$ . Son côté $[A B]$ est un diamètre du cercle.

Si $A D = 2$ , quelle est l’aire du trapèze ?

Figure Q5

Alors :

Si $A B C D$ est un carré, l’application successive des symétries centrales de centres $A$ , $B$ , $C$ et $D$ équivaut à :

Figure Q6

Alors :

Lorsqu’un carré est inscrit dans un demi-cercle de rayon $r$ , son aire vaut :

Figure Q7

Alors :

Le sommet $A$ du carré $A B C D$ est le centre du cercle et ce cercle passe par le centre du carré.

Si l’aire du carré est $100 cm^{2}$ , l’aire du disque est :

Figure Q8

Alors :

Le quadrilatère $A B C D$ est un carré et le triangle $O A B$ est équilatéral. Déterminer l’amplitude de $C D O$ .

Figure Q9

Alors :

L’aire totale d’un tétraèdre régulier vaut :

3243 cm^{2} .

Quelle est la longueur d’une arête ?

Q10

Alors :

Que vaut l’aire d’un trapèze dont les côtés mesurent respectivement $4$ , $5$ , $6$ et $11$ ?

Figure Q11

Q11

Alors :

La longueur de l’arête du cube $A B C D E F G H$ vaut $1$ . Si $X$ est le milieu de $[E H]$ , quelle est la longueur du segment $[C X]$ ?

Figure Q12

Q12

Alors :

$A B C D$ est un losange et :

A E = E D .

Le rapport de l’aire de $E D C$ à celle de $B C D$ est :

Figure Q13

Q13

Alors :

Les points $A$ , $B$ et $C$ , milieux des côtés du triangle $X Y Z$ , ont pour coordonnées :

A (0, 0), B (3, 0), C (0, 4) .

Quelle est l’aire du triangle $X Y Z$ ?

Q14

Alors :

Dans un repère orthonormé, les côtés d’un triangle sont contenus dans les droites :

y = 0, y = x, y = - 2 x + 21.

Que vaut l’aire du triangle ?

Q15

Alors :

Si $[A D]$ est un diamètre du cercle, $A B = B C$ et $B C A = 2 7^{\circ}$ , que vaut $C A D$ ?

Figure Q16

Q16

Alors :

La droite $A C$ est tangente en $A$ au cercle, dont $O$ est le centre. Si $α$ est la mesure en degrés de $O A B$ et $x$ celle de $B C A$ , alors :

Figure Q17

Q17

Alors :

Dans la figure ci-contre :

B C = 6

B D = 4.

Les angles $B A C$ et $D C B$ ont même amplitude. Quelle est la mesure de $A D$ ?

Figure Q18

Q18

Alors :

Le rectangle $D E F G$ , de périmètre $26$ et d’aire $30$ , est inscrit dans le triangle équilatéral $A B C$ . Sa largeur $[D E]$ , avec :

D E < D G,

est incluse dans $[B C]$ . Que vaut $A B$ ?

Figure Q19

Q19

Alors :

Le triangle $A B C$ est isocèle avec :

A B = A C

et :

A B = 2 B C .

Le point $D$ de $[A C]$ est tel que :

C B D = C A B .

Quel est le rapport des aires des triangles $A B C$ et $D B C$ ?

Figure Q20

Q20

Alors :

Dans le rectangle $A B C D$ , le côté $A B$ a pour mesure $a$ et le côté $B C$ a pour mesure $b$ . En outre :

A K = B L = C M = D N = d .

Que vaut l’aire du quadrilatère $K L M N$ ?

Figure Q21

Q21

Alors :

Si les côtés d’un carré de côté initial $a$ sont augmentés de $6$ cm et que son aire double, alors $a$ vaut :

Q22

Alors :

Si $A$ , $B$ , $C$ sont les mesures des angles d’un triangle, quelles affirmations sont fausses ?

(1) A + B + C = 18 0^{\circ}

(2) sin (A + B + C) = 0

(3) sin (A + B) = sin C

Q23

Alors :

Les points $M, N, P, Q$ sont les milieux des côtés du quadrilatère $A B C D$ . Si l’aire du quadrilatère vaut :

1,

alors :

A (A M Q) + A (C P N)

vaut :

Figure Q24

Q24

Alors :

Si :

b = 6 0^{\circ},

que vaut :

sin b + sin 2 b + sin 3 b ?

Q25

Alors :

Dans le carré de côté $3$ , on a :

P C = Q D = 1.

Que vaut :

tan (A QP) ?

Figure Q26

Q26

Alors :

Dans le carré $A B C D$ ,

3 D P = D A

3 D Q = D C .

Que vaut :

sin (P B Q) ?

Q27

Alors :

Dans le triangle isocèle $A B C$ ,

B P = C Q = \frac{1}{4} B C

P A Q = 9 0^{\circ} .

Que vaut :

tan (B A C) ?

Figure Q28

Q28

Alors :

Dans un triangle rectangle $A B C$ ,

\frac{sin ^{2} A + sin ^{2} B + sin ^{2} C}{cos ^{2} A + cos ^{2} B + cos ^{2} C}

vaut :

Q29

Alors :

Deux cercles de rayons $8$ cm et $18$ cm sont tangents extérieurement. Quelle est la longueur du segment de tangente commune $[B C]$ ?

Figure Q30

Q30

Alors :

$A B D$ et $B C E$ sont deux triangles équilatéraux avec :

A B = a, B C = b .

Si $H$ est le milieu de $[D E]$ , quelle est l’aire du triangle $A H C$ ?

Figure Q31

Q31

Alors :

Dans la figure ci-contre, la bande blanche est délimitée par deux droites parallèles. Quelle est l’aire de la partie ombrée du trapèze ?

Figure Q32

Q32

Alors :

Les droites $(a)$ et $(b)$ sont parallèles. Quelle est une mesure de l’angle $x$ ?

Figure Q33

Q33

Alors :

L’aire du triangle $A B C$ vaut :

24 cm^{2} .

Le point $P$ est situé au tiers de $[A B]$ à partir de $A$ , et $Q$ est le milieu de $[B C]$ . Quelle est l’aire du triangle $P QC$ ?

Figure Q34

Q34

Alors :

Dans le triangle $A B C$ ,

A B = A C .

La bissectrice de l’angle $A B C$ coupe $A C$ en $D$ , et la perpendiculaire abaissée de $A$ sur $B D$ coupe $B C$ en $E$ . Sachant que :

A C B = 3 2^{\circ},

que vaut :

A E C ?

Figure Q35

Q35

Alors :

Les droites $a$ et $b$ sont parallèles. L’angle aigu entre $a$ et $A C$ vaut :

6 0^{\circ},

et l’angle obtus entre $b$ et $B C$ vaut :

13 0^{\circ} .

Que vaut :

A C B ?

Figure Q36

Q36

Alors :

Dans le parallélogramme $A B C D$ , une droite issue de $B$ coupe $A C$ en $G$ , $A D$ en $E$ et $C D$ en $F$ . Sachant que :

B G = 4

GE = 1,

que vaut :

E F ?

Figure Q37

Q37

Alors :

L’aire du triangle $A D E$ vaut la moitié de celle du triangle $A B C$ . On sait :

B C = 2

D E ∥ B C .

Quelle est la longueur de $D E$ ?

Figure Q38

Q38

Alors :

Le losange $A F D E$ est inscrit dans le triangle $A B C$ . Sachant que :

A B = 15, B C = 12, A C = 7,

quelle est la longueur du côté du losange ?

Figure Q39

Q39

Alors :

L’aire du carré $A B C D$ vaut :

16.

Le milieu de $[B C]$ est $M$ , et la médiatrice de $[A M]$ coupe $C D$ en $F$ . Que vaut l’aire du triangle $A M F$ ?

Figure Q40

Q40

Alors :

Le segment $[A B]$ est un diamètre du cercle et $B C$ est tangente au cercle en $B$ . Sachant que :

A C = 12

B C = 8,

que vaut l’aire du cercle ?

Figure Q41

Q41

Alors :

Le triangle $P QR$ est rectangle en $Q$ ,

QR = 5,

$[QS]$ est la hauteur sur l’hypoténuse, et

P R Q = 3 5^{\circ} .

Parmi les expressions suivantes, laquelle n’est pas égale à $P S$ ?

Figure Q42

Q42

Alors :

Le prisme droit a pour base le triangle rectangle $A B C$ en $A$ . Sachant que :

A B = A D = 4, A C = 3,

quelle est la distance du point $B$ au plan $A C E$ ?

Figure Q43

Q43

Alors :

Soit $A B C D$ un trapèze et $M N P Q$ un rectangle ; les sommets $M$ et $Q$ sont sur la grande base $[A D]$ du trapèze ; les sommets $N$ et $P$ sont les milieux de $[A B]$ et $[C D]$ . Si l’aire de ce rectangle est de $20 cm^{2}$ , quelle est, en centimètres carrés, l’aire du trapèze $A B C D$ ?

Figure Q44

Q44

Alors :

Dans la configuration ci-contre, si $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 7 0^{\circ}$ et $C = 2 0^{\circ}$ , quelle est, en degrés, l’amplitude de $E D F$ ?

Figure Q45

Q45

Alors :

Dans le cube $A B C D E F G H$ représenté ci-contre, que vaut l’angle $E B G$ ?

Figure Q46

Q46

Alors :

La figure ci-dessous est constituée de deux triangles rectangles : $A B C$ , de côtés $a$ , $b$ et $c$ , avec $a > b > c$ , et $A D E$ , isométrique à $A B C$ . À quelle condition l’aire du quadrilatère $A D F B$ est-elle égale à la somme des aires des deux triangles $C F D$ et $B F E$ ?

Figure Q47

Q47

Alors :

Dans la figure suivante, les points partagent les côtés sur lesquels ils se trouvent en segments de mêmes longueurs. L’aire du triangle $A B C$ est $180$ . Quelle est celle du triangle gris ?

Figure Q48

Q48

Alors :

La figure ci-dessous est un rectangle ; que vaut $p + q$ ?

Figure Q49

Q49

Alors :

Quelle est l’expression littérale de l’aire de la figure ci-contre, formée d’un rectangle et d’un demi-cercle accolé à l’un de ses petits côtés ?

Figure Q50

Q50

Alors :

La droite symétrique de la droite d’équation $y = 2 x + 2$ par rapport à la droite d’équation $y = 4$ a pour équation :

Q51

Alors :

Dans la configuration ci-contre, laquelle des égalités suivantes est nécessairement vraie ?

Figure Q52

Q52

Alors :

Si $p$ désigne le périmètre d’un triangle équilatéral inscrit à un cercle, quelle est l’aire du disque bordé par ce cercle ?

Q53

Alors :

Quelle est l’aire ombrée dans la figure suivante ?

Figure Q54

Q54

Alors :

Quelle relation vérifient les angles $α$ et $β$ indiqués dans ce cube ?

Figure Q55

Q55

Alors :

L’aire du parallélogramme $A B C D$ est $8$ . Les points $M$ et $N$ sont les milieux de $[A D]$ et $[B C]$ . Les droites $C M$ et $D N$ coupent $A B$ respectivement en $Q$ et en $P$ . Le point $O$ est l’intersection de $D P$ et $C Q$ .

Que vaut l’aire du triangle $O P Q$ ?

Figure Q56

Q56

Alors :

Si le triangle $A B C$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[A B]$ , alors nécessairement :

Q57

Alors :

Que vaut $r$ ?

Figure Q58

Q58

Alors :

Deux cercles de rayons $4$ et $9$ sont tangents extérieurement. Deux tangentes extérieures aux deux cercles se coupent en $S$ . Quelle est la distance $∣ S A ∣$ ?

Figure Q59

Q59

Alors :

Dans le quadrilatère $A B C D$ ,

A B C + A D C = 18 0^{\circ}

Si :

A D = 5, C D = 6, A C = 7, B C = 4

que vaut $A B$ ?

Figure Q60

Q60

Alors :

Dans la figure ci-dessous, $d_{1} ∥ d_{2}$ .

Quelle est la mesure de l’angle $α$ ?

Figure Q61

Q61

Alors :

Quelle formule de trigonométrie peut-on établir en calculant la distance $P Q$ dans les deux repères de la figure ?

Figure Q62

Q62

Alors :

À retenir pour le concours

Cette page reprend le contenu complet de la série 4 de géométrie dans un espace dédié au concours enseignants.
Les figures, la numérotation des questions et les corrections détaillées sont conservées telles quelles.
Le rendu suit la même logique de validation et le même affichage mathématique que les autres QCM du site.