Académie Btissam

Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$ telle que :

\forall A \subset E, f (\overline{A}) = \overline{f (A)}

où $\overline{A}$ désigne le complémentaire de $A$ dans $E$ .

Q1

Alors

f

:

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides d’un ensemble $E$ . On désigne par $P (E)$ l’ensemble des parties de $E$ . Alors :

Q2

Alors :

Soit $x$ un réel quelconque. On considère le nombre :

y = \frac{x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + x + 1}

Q3

Alors :

On considère l’équation suivante :

E_{a} : x + x^{2} + a = a

où $x$ est l’inconnue et $a$ est un paramètre réel.

Q4

Alors l’ensemble des valeurs de

a

pour lesquelles l’équation

E_{a}

n’admet pas de solutions réelles est :

Soit $z$ la solution complexe de l’équation suivante :

(E) : z^{2025} + \frac{1}{z ^{2025}} + z^{2023} + \frac{1}{z ^{2023}} = 0

Q5

Alors :

Soit $α$ un nombre complexe de module $2$ . Soient $u, v$ les solutions de l’équation :

z^{2} + i (α + i \overline{α}) z - 2 i = 0

Q6

Alors :

Soit $a$ un entier strictement positif et $n$ un entier tel que $a^{n} + 1$ est un nombre premier.

Q7

Alors :

Le reste de la division euclidienne par $13$ de $10 0^{1000}$ est :

Q8

Alors :

Soit l’ensemble :

E = {x \in R : \exists (m, n) \in Z^{2} tel que x = m + n 2}

Muni de l’addition et de la multiplication induites par les lois de l’anneau $(R, +, \times)$ , $E$ est un anneau et on a :

Q9

Alors :

L’ensemble :

E = {x \in R : \exists (m, n) \in Z^{2} tel que x = m + n 2}

muni de l’addition et de la multiplication induites par les lois de l’anneau $(R, +, \times)$ est un anneau. Soit $H$ l’ensemble des éléments inversibles de cet anneau. Alors :

Q10

Alors :

On considère le polynôme :

P (X) = k = 0 \sum n \frac{X ^{k}}{k !}, n \geq 2

Alors :

Q11

Alors :

Soit le polynôme :

P (X) = X^{5} + 2 X^{3} + X + 1

Alors :

Q12

Alors :

Soient $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $A$ un polynôme de degré $p$ tel que $1 \leq p \leq n$ . On considère :

F = {P \in R_{n} [X] tel que A divise P}

C’est un sous-espace vectoriel de $R_{n} [X]$ . Alors :

Q13

Alors :

On considère, dans l’espace vectoriel des fonctions définies sur $R$ à valeurs réelles, les fonctions :

f : x \mapsto ∣ x - 1∣, g : x \mapsto ∣ x - 2∣, h : x \mapsto ∣ x - 3∣

Alors :

Q14

Alors :

On considère la matrice carrée suivante :

A

=

$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$

Alors :

Q15

Alors :

Soit $p$ un projecteur non trivial $(p \neq = 0, p \neq = I d_{E})$ d’un espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ . Alors le polynôme minimal de $p$ est :

Q16

Alors :

Soit $D$ une matrice diagonale de $M_{n} (R)$ dont les termes diagonaux sont deux à deux distincts et soit $A \in M_{n} (R)$ telle que :

A D = D A

Alors :

Q17

Alors :

Soient $A$ et $B$ deux matrices non nulles dans $M_{n} (R)$ . On considère :

C = A B - B A

et $I_{n}$ la matrice unité. Alors :

Q18

Alors :

Soit $A$ une matrice carrée vérifiant la propriété :

A^{2} + 5 A + 5 I_{n} = 0

Alors l’inverse de $A + 2 I_{n}$ est égal à :

Q19

Alors :

Dans la figure ci-contre, $(O, i, j)$ est un repère orthonormé.

Figure de la question 20 avec un repère orthonormé et le rectangle OHFG

Q20

Les coordonnées du point

F

pour que l’aire du rectangle

O H F G

soit maximale sont :

Le déterminant de la matrice :

où $(a, b, c) \in R^{3}$ , est égal à :

Q21

Alors :

Le cercle passant par le point $M (- 1, 0)$ et tangent à l’axe des ordonnées au point $N (0; 2)$ passe aussi par le point de coordonnées :

Q22

Alors :

On considère dans $R^{3}$ , les plans d’équations :

P_{1} : x + y + 2 z - 6 = 0

et

P_{2} : 2 x + 2 y + 4 z - 36 = 0

Alors la distance entre $P_{1}$ et $P_{2}$ est :

Q23

Alors :

Soient les points $O (0; 0)$ , $A (2; 1)$ et $B (2; 3)$ du plan euclidien. Alors l’équation du cercle circonscrit au triangle $O A B$ est :

Q24

Alors :

Soient les points $A (- 1; 1)$ , $B (3; - 1)$ et $C (1; 4)$ du plan euclidien. Alors l’intersection des hauteurs du triangle $A B C$ est le point de coordonnées :

Q25

Alors :

Dans l’espace euclidien $R^{3}$ , on considère le plan $P$ qui passe par les points suivants :

A (5; - 4; 3), B (10; 8; - 9), C (- 5; 12; - 3)

Alors l’intersection du plan $P$ avec le plan $(o x y)$ est la droite dont une représentation paramétrique est :

Q26

Alors :

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois événements d’un espace probabilisé $(Ω, P (Ω), p)$ tels que :

p (B) = \frac{3}{4}

p (A \cap B \cap \overline{C}) = \frac{1}{3}

et :

p (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) = \frac{1}{3}

Alors $p (B \cap C)$ est égale à :

Q27

Alors :

Soit $m$ un entier naturel non nul et inférieur ou égal à $5$ . Alors la probabilité pour que l’équation quadratique :

E : x^{2} + m x + \frac{m + 1}{2} = 0

admette des racines réelles est :

Q28

Alors :

Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants d’un espace probabilisé $(Ω, P (Ω), p)$ tels que :

p (A \cap B) = \frac{1}{10}

et :

p (A \cup B) = \frac{3}{5}

Alors :

Q29

Alors :

Dans la figure ci-contre, $(Δ) ∥ (Δ^{'})$ .

Figure de la question 30 avec deux droites parallèles

Q30

Alors la valeur de

x

est égale à :

Soit $f$ une fonction convexe sur l’intervalle semi-ouvert $[a, b [$ . Alors $f$ est nécessairement :

Q31

Alors :

Dans la figure ci-contre, $(Δ) ∥ (Δ^{'})$ .

Figure de la question 32 avec deux droites parallèles

Q32

Alors la valeur de

α

est égale à :

Dans la figure ci-contre, $F K H G$ est un carré.

Figure de la question 33 avec le carré FKHG

Q33

Alors la valeur de

β

est égale à :

Q34

Dans la figure ci-contre, la valeur de

α

est égale à :

Soit $f$ la solution de l’équation différentielle :

y^{'} (\frac{1 + cos x}{y}) = - sin x

telle que :

f (\frac{π}{2}) = - 1

Alors $f (0)$ est égal à :

Q35

Alors :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels vérifiant :

a \geq 1, b \geq 1

et :

a + b = 10

Alors la valeur minimale de :

lo g_{3} (a) + lo g_{3} (b)

est :

Q36

Alors :

Si :

f (x) = n \to + \infty lim \frac{x ^{2 n} - 1}{x ^{2 n} + 1}

alors :

Q37

Alors :

Si :

f (x) = (1 + x)^{2025}

alors :

f (0) + f^{'} (0) + \frac{f ^{''} ( 0 )}{2 !} + \dots + \frac{f ^{2025} ( 0 )}{2025 !}

est égale à :

Q38

Alors :

Soit $F$ une primitive de la fonction :

f (x) = 1 + sin x

alors le domaine de définition de $F$ est égal à :

Q39

Alors :

Si $E (x)$ désigne la partie entière de $x$ et :

I = \int_{0}^{1, 7} E (x^{2}) d x

alors $I$ est égale à :

Q40

Alors :

Soit $y$ une fonction de $x$ qui vérifie l’équation suivante :

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

où $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.

Alors la fonction $y$ vérifie l’équation différentielle :

Q41

Alors :

Soit $m$ un réel strictement positif. Alors :

n \to \infty lim k = 1 \prod n (\frac{k}{n})^{\frac{mk}{n ^{2}}}

est égal à :

Q42

Alors :

L’intégrale généralisée :

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 3∣ x ∣} d x

converge vers :

Q43

Alors :

Soient $a, d \in] 0, + \infty [$ et

a_{n} = a + (n - 1) d, n \in N^{*}

Alors la valeur minimale de l’expression :

k = 1 \sum n a_{k}^{2} - a_{k} a_{k + 1} + a_{k + 1}^{2}

est égale à :

Q44

Alors :

Si $ln 2$ , $ln (2^{x} - 1)$ , $ln (2^{x} + 3)$ sont en progression arithmétique, dans cet ordre.

Alors $x$ est égal à :

Q45

Alors :

La somme $S_{100}$ des $100$ premiers termes de la série :

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \dots

est égale à :

Q46

Alors :

Soit $f$ une fonction définie sur $R^{2}$ par :

f (x, y) = 2 x^{3} + 6 x y - 3 y^{2} + 2

Alors :

Q47

Alors :

La somme de la série :

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{2 ^{n} n !}

est égale à :

Q48

Alors :

Le domaine de convergence d’une série entière :

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

ne peut pas être :

Q49

Alors :

Si $\sum u_{n}$ est absolument convergente et si :

w_{n} = k = 0 \sum n 2^{k - n} u_{k}

alors :

Q50

Alors :

Série 2

QCM Q1 à Q50