Académie Btissam

Soit $n$ un entier naturel non nul. La somme :

k = 0 \sum n k C_{n}^{k}

est égale à :

Q1

Alors :

Soit la suite $(u_{n})_{n \geq 1}$ définie par :

\forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

On a :

Q2

Alors :

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que :

\forall x \in [0, 1], 0 \leq f (x) \leq \int_{0}^{x} f (t) d t

On a :

Q3

Alors :

Soient $f, g$ deux fonctions continues de l’intervalle $[0; 1]$ à valeurs réelles telles que :

\forall x \in [0; 1], f (x) = \int_{0}^{x} g (t) d t

et :

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

On a :

Q4

Alors :

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $R^{+}$ par :

f (x) = ln (1 + x) + \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}

Sachant que :

\forall n \in N^{*}, \exists! a_{n} \in R^{+}, f (a_{n}) = \frac{1}{n}

on a :

Q5

Alors :

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On considère la fonction $f$ définie par :

f (x) = \frac{x}{a} E (\frac{b}{x})

où $E (x)$ désigne la partie entière de $x$ .

x \to 0^{+} lim f (x)

est égale à :

Q6

Alors :

Soit $f$ une fonction de la variable réelle deux fois dérivable sur $R$ telle que :

\forall x \in R, f^{'} (x) > 0 et f^{''} (x) > 0

On a :

Q7

Alors :

Soit $a \in R_{+}^{*}$ . On a :

x \to a lim \frac{e ^{x} ln ( a ) - e ^{a} ln ( x )}{x ^{2} - a ^{2}}

est égale à :

Q8

Alors :

Soit la fonction $f$ de la variable réelle définie sur $R$ par :

f (x) = \frac{x ^{4}}{1 + x ^{4}}

La valeur de $f^{(12)} (0)$ est égale à :

Q9

Alors :

Le développement limité à l’ordre $2$ au voisinage de zéro de la fonction $f$ de la variable réelle définie par :

f (x) = 4 (1 + x)^{\frac{1}{4}} - 3 (1 + x)^{\frac{1}{3}}

est :

Q10

Alors :

Soit $f$ la fonction de la variable réelle définie par :

f (x) = \int_{0}^{e^{2 x}} \frac{t ^{2} - 10 t + 9}{2 ^{t} + 3 ^{t}} d t

Le nombre des extremums de $f$ est :

Q11

Alors :

Soit :

f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{ln ( t )}

Le domaine de définition de $f$ est :

Q12

Alors :

Soit $f$ une fonction définie sur $R^{+}$ à valeurs réelles. Si $f$ est continue sur $R^{+}$ et :

x \to 0^{+} lim f (x) = 2022

On a :

x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

est égale à :

Q13

Alors :

La somme :

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}

est égale à :

Q14

Alors :

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ la suite numérique définie par :

{u_{0} = 2 \forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} e^{- u_{n}}

On a :

Q15

Alors :

Soit :

Q (t) = sin (t) + 2 sin (2 t) + 3 sin (3 t)

La valeur de :

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (Q (t))^{2} d t

est égale à :

Q16

Alors :

Pour $x \in] - 1, 1 [$ , la somme de la série entière :

n = 1 \sum + \infty (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n}

est égale à :

Q17

Alors :

L’espace des solutions sur $R$ de l’équation différentielle :

x y^{'} - 2 y = 0

est de dimension :

Q18

Alors :

La valeur de l’intégrale :

\int_{0}^{1} \frac{x ^{α} - x ^{β}}{ln x} d x

avec $α > 0$ et $β > 0$ , est :

Q19

Alors :

Soit $f$ la fonction définie sur $R^{2}$ par :

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

et :

F = {(x, y) \in R^{2} : x y = 1}

On a :

(x, y) \in F in f f (x, y)

est égale à :

Q20

Alors :

Soient $E$ un ensemble non vide et $A$ et $B$ deux parties formant une partition de $E$ . L’application de $P (E)$ , l’ensemble des parties de $E$ , vers $P (A) \times P (B)$ , définie par :

\forall X \in P (E), f (X) = (X \cap A, X \cap B)

On a :

Q21

Alors :

L’équation suivante d’inconnue réelle $x$ :

e^{s i n x} - e^{- s i n x} - 4 = 0

A.

Q22

Alors :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. L’ensemble des points $M (z)$ tels que :

z \in C^{*}, Re (z) = \frac{1}{2}

et :

z^{2} + \frac{1}{z} \in R

est :

Q23

Alors :

L’ensemble des solutions dans $C$ de l’équation :

(\frac{z + 1}{z})^{2023} = 1

est :

Q24

Alors :

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose :

a_{n} = 2 n^{2} + 5 n + 4, b_{n} = 2 n + 1

et :

d_{n} = a_{n} \land b_{n}

On a $d_{n}$ est égal à :

Q25

Alors :

Soit :

K = {a + b 3; a, b \in Q}

On a :

Q26

Alors :

Soient $E$ et $F$ deux anneaux commutatifs et $f$ un morphisme d’anneau non injectif de $E$ dans $F$ . Le noyau de $f$ est :

Q27

Alors :

Soit $(G, \cdot)$ un groupe commutatif de cardinal supérieur ou égal à $2$ . Pour tout $n \in N$ , on considère :

B_{n} = {a \in G; a^{n} = 1}

On a :

Q28

Alors :

Soit $F$ la fraction rationnelle définie par :

F (X) = \frac{X ^{2} + 2 X - 3}{( X - 1 ) ^{2} ( X + 3 )}

On a :

Q29

Alors :

Dans $R [X]$ , le PGCD :

PGCD (X^{4} - X^{2}, X^{2} + X - 2)

est égal à :

Q30

Alors :

Dans l’ensemble $M_{3} (R)$ , on pose :

A

=

$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$2$

La dimension du sous-espace vectoriel :

E = {M \in M_{3} (R) : M A = A M}

est égale à :

Q31

Alors :

Soient $E$ un espace euclidien réel de dimension $n$ , et $s$ une symétrie orthogonale de $E$ par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension $p$ . On a la trace de $s$ est :

Q32

Alors :

Soit $M \in M_{n} (R)$ , avec $n \geq 2$ , telle que :

rg (M) = 1

La matrice $M$ est diagonalisable lorsque :

Q33

Alors :

Soit $M \in M_{n} (R)$ , $n \geq 2$ , telle que $M \neq = I_{n}$ . Parmi les relations ci-dessous, celle permettant de dire que $M$ est diagonalisable sur $R$ est :

Q34

Alors :

Soit $M$ une matrice d’ordre $3$ vérifiant :

^{t} M M = I_{3}

et :

det (M) = 1

où $^{t} M$ désigne la transposée de $M$ . On a la valeur de :

det (M - I_{3})

est égale à :

Q35

Alors :

Soit $A = (a_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}$ une matrice carrée d’ordre $n$ dont la comatrice est la matrice :

B = (b_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}

On note par $(E_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}$ la base des matrices élémentaires de $M_{n} (R)$ . On a :

det (A + E_{ij})

est égal à :

Q36

Alors :

Soit :

M

=

$a$	$b$
$c$	$d$

une matrice non nulle telle que :

M^{3} = 0

On a :

Q37

Alors :

Soit $M \in M_{n} (R)$ , $n \geq 2$ , une matrice antisymétrique. Alors $exp (M)$ est :

Q38

Alors :

L’inverse de la classe $\overline{11}$ dans $Z /60 Z$ est :

Q39

Alors :

Soit $M \in M_{n} (R)$ , $n \geq 2$ , et $M$ est inversible. Si $M$ est semblable à son inverse, alors on a nécessairement :

Q40

Alors :

Dans l’espace $R^{3}$ muni d’un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , on considère le plan $P$ passant par le point $M$ de coordonnées $(1; 2; 3)$ et perpendiculaire à la droite $(O M)$ . Soient $E, F$ et $G$ les points d’intersection du plan $P$ avec les axes $(O X)$ , $(O Y)$ et $(O Z)$ respectivement. L’aire du triangle $E F G$ est :

Q41

Alors :

On considère les vecteurs :

u

=

2

0

1

v

=

1

1

1

et

w

=

4

- 3

7

Soit :

r

=

x

y

z

un vecteur tel que :

r \cdot u = 0

et :

r \land v = w \land v

On a la valeur absolue $∣ x + y + z ∣$ est égale à :

Q42

Alors :

On considère l’espace $R^{3}$ muni d’un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . On a l’angle entre deux diagonales d’un cube a pour mesure :

Q43

Alors :

Les points de la parabole d’équation :

2 y = x^{2}

les plus proches du point de coordonnées $(0; 3)$ sont :

Q44

Alors :

L’application qui associe à tout couple :

((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) \in R^{2} \times R^{2}

le réel :

x_{1} y_{1} - 5 x_{1} y_{2} - 5 x_{2} y_{1} + k x_{2} y_{2}, k \in R

est un produit scalaire si :

Q45

Alors :

Pour tout $n \in N$ , on pose :

u_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k ! 2 ^{n - k}}

La somme de la série :

n \geq 0 \sum u_{n}

est :

Q46

Alors :

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n \geq 2$ . Le nombre de couples $(A, B)$ tels que $A$ et $B$ sont deux parties de $E$ et :

A \cap B = \emptyset

est :

Q47

Alors :

Soient $E$ et $F$ deux événements d’un espace probabilisé fini $(Ω, p)$ tels que :

p (E) = a, p (F) = b

et :

p (E \cap \overline{F}) = c

On a :

p (\overline{E} \cap \overline{F})

est égale à :

Q48

Alors :

Soit $X$ une variable aléatoire telle que :

X (Ω) = {1, 2, 3, \dots, n}, n \in N^{*}

et :

\forall k \in {1, 2, 3, \dots, n}, P (X = k) = λk

On a :

Q49

Alors :

Soit $X$ une variable aléatoire telle que :

X (Ω) = N

et pour tout $n \in N^{*}$ , on a :

P (X = n) = \frac{2}{n} P (X = n - 1)

On a :

Q50

Alors :

Série 3

QCM Q1 à Q50