Académie Btissam

Soit $E$ l’ensemble des matrices :

M

=

$a$	$c$
$b$	$d$

avec $a, b, c, d \in {0, 1}$ .

On choisit au hasard une matrice de $E$ .

La probabilité pour que cette matrice soit inversible est :

Q1

Alors :

Soit $m$ un entier naturel tel que :

1 \leq m \leq 5

La probabilité pour que l’équation :

x^{2} + m x + \frac{m + 1}{2} = 0

admette des solutions réelles est :

Q2

Alors :

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois événements indépendants deux à deux.

On considère les assertions suivantes :

S_{1} : A et (B \cup C) sont ind \overset{e}{ˊ} pendants

S_{2} : A et (B \cap C) sont ind \overset{e}{ˊ} pendants

Alors :

Q3

Alors :

On choisit au hasard un entier naturel $n$ non nul inférieur ou égal à $100$ . La probabilité pour que :

\frac{( n - 20 ) ( n - 40 )}{n - 30} < 0

est :

Q4

Alors :

Une pièce de monnaie non truquée est lancée $2023$ fois. La probabilité d’obtenir au moins $1012$ faces est :

Q5

Alors :

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , avec :

0 < p < 1

On suppose que le rapport :

\frac{P ( X = r )}{P ( X = n - r )}

est indépendant de $n$ , pour toute valeur de $r$ . La valeur de $p$ est égale à :

Q6

Alors :

Six entiers naturels sont choisis d’une manière aléatoire parmi les $150$ premiers entiers naturels non nuls. La probabilité pour que ces six nombres soient divisibles à la fois par $3$ et par $5$ est :

Q7

Alors :

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . Soient le plan $P_{1}$ d’équation :

P_{1} : x + 2 y + 3 z = 2

et le plan $P_{2}$ d’équation :

P_{2} : x - y + z = 3

Soit :

D = P_{1} \cap P_{2}

On considère le point :

A (3; 1; - 1)

Alors le plan $P$ contenant la droite $D$ et dont la distance au point $A$ est :

\frac{2}{3}

a pour équation :

Q8

Alors :

Si $a > 2 b > 0$ , alors la valeur positive $m$ telle que la droite d’équation :

y = m x - b 1 + m^{2}

soit tangente aux deux cercles d’équations respectives :

x^{2} + y^{2} = b^{2}

et :

(x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}

est :

Q9

Alors :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O; i, j)$ , $C$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $5$ . $P$ , $Q$ et $R$ sont trois points distincts du cercle $C$ tels que $(3; 4)$ et $(- 4; 3)$ sont respectivement les couples de coordonnées des points $Q$ et $R$ . La mesure de l’angle $QP R$ est égale à :

Q10

Alors :

Soit $n \in N$ . Soit $f$ la fonction définie sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ par :

f (x) = min (1 - (tan x)^{n}, 1 - (sin x)^{n}, 1 - x^{n})

La dérivée à gauche de $f$ au point d’abscisse $\frac{π}{4}$ est :

Q11

Alors :

L’entier $n$ pour lequel la limite :

x \to 0 lim \frac{( cos x - 1 ) ( cos x - e ^{x} )}{x ^{n}}

est finie et non nulle est égal à :

Q12

Alors :

Soit $f$ une fonction définie sur $R$ telle qu’il existe $k > 0$ vérifiant :

\forall x \in R, f (x + k) = f (k - x)

et :

f (2 k + x) = - f (2 k - x)

Alors la fonction $f$ est :

Q13

Alors :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $C^{1}$ de $R^{+}$ dans $R^{+}$ . Alors :

\int_{a}^{b} \frac{f ( x ) g ^{'} ( x ) - f ^{'} ( x )}{f ( x ) + e ^{g (x)}} d x

est égal à :

Q14

Alors :

On note $E (x)$ la partie entière de $x$ . L’intégrale :

\int_{0}^{1, 7} E (x^{2}) d x

est égale à :

Q15

Alors :

Si :

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} (x) sin^{n} (x) d x = λ \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} (x) d x

alors $λ$ est égal à :

Q16

Alors :

Soit $f : [0, 1] \to R$ une fonction continue telle que :

\int_{0}^{π} f (sin x) d x = 2022

Alors :

\int_{0}^{π} x f (sin x) d x

est égale à :

Q17

Alors :

Soient $a, b, c$ trois réels strictement positifs tels que :

b < c

Soit :

I = a \int_{b}^{c} \frac{x ^{4} + 1}{x ^{6} + 1} d x

Alors :

Q18

Alors :

Soit la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 36 x - 48

et :

A = {x \in R : x^{2} + 20 \leq 9 x}

Alors :

x \in A max f (x)

est égal à :

Q19

Alors :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en $a$ telles que :

f (a) = 2, f^{'} (a) = 1, g (a) = - 1, g^{'} (a) = - 2

Alors :

x \to a lim \frac{g ( x ) f ( a ) - g ( a ) f ( x )}{x - a}

est :

Q20

Alors :

Soient $a, b$ deux réels. On considère la fonction :

f (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

Si :

\int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x > \int_{- 1}^{1} f (x) d x

alors l’équation :

f (x) = 0

admet :

Q21

Alors :

Si $tan (a)$ et $tan (b)$ sont les solutions de l’équation :

x^{2} - p x + q = 0

Alors :

(sin (a + b))^{2}

est :

Q22

Alors :

Soient $p, q$ deux nombres premiers tels que l’équation :

x^{2} - p x + q = 0

admette deux solutions entières distinctes. Alors la somme $p + q$ est égale à :

Q23

Alors :

L’équation :

3^{x - 1} + 5^{x - 1} = 34

Q24

Alors :

On considère la somme suivante constituée de $n$ termes :

S = 3 + 75 + 243 + 507 + \dots

Si la somme $S$ est égale à :

4353

alors le nombre $n$ est égal à :

Q25

Alors :

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) \dots (x - 2021) (x - 2022)

Le nombre dérivé $f^{'} (2022)$ est égal à :

Q26

Alors :

On sait que :

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

La somme de la série :

n = 1 \sum + \infty \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}}

est égale à :

Q27

Alors :

On considère les ensembles :

E = {\frac{ε}{k ( k + 1 )} : k \in N^{*}, ε = \pm 1}

et :

F = {\frac{1}{p} - \frac{1}{q} tel que (p, q) \in (N^{*})^{2}}

Alors :

Q28

Alors :

Soit $n \in N$ tel que $n \geq 2$ . On pose :

z = e^{i \frac{2 π}{n}}

La somme :

S = k = 0 \sum n - 1 ∣ z^{k} - 1∣

est égale à :

Q29

Alors :

Soient deux entiers naturels $a > 1$ et $n > 0$ .

Si $a^{n} + 1$ est premier, alors :

Q30

Alors :

$L$ est une matrice carrée d’ordre $n$ , inversible d’inverse $L^{- 1}$ , et vérifiant :

L + L^{- 1} = I_{n}

Pour $k \in N$ , la matrice :

L^{k} + L^{- k}

est égale à :

Q31

Alors :

Soit la matrice :

H

=

$1 + i$	$1$	$1$
$1$	$1 + i$	$1$
$1$	$1$	$1 + i$

où $i$ est le complexe tel que :

i^{2} = - 1

Le déterminant de $H$ est égal à :

Q32

Alors :

Soit $(G, \cdot)$ un groupe d’ordre $2 n$ . Si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de $(G, \cdot)$ possédant chacun $n$ éléments et vérifiant :

H \cap K = {e}

où $e$ est l’élément neutre du groupe. La valeur de $n$ est égale à :

Q33

Alors :

Soit la fraction rationnelle :

F (X) = \frac{n !}{( X - 1 ) ( X - 2 ) \dots ( X - n )}

La décomposition en éléments simples de $F$ est :

Q34

Alors :

Lequel des ensembles suivants, muni des opérations induites, n’est pas un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites réelles ?

Q35

Alors :

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . L’équation du plan passant par :

P (1; 1; 0), Q (1; 2; 1), R (- 2; 2; - 1)

est :

a x + b y + cz = 5

La valeur de $a + b + c$ est :

Q36

Alors :

Sur la figure ci-contre, $A B C$ est un triangle tel que :

A B = 8, B C = 7, A C = 6

$(A I)$ est la bissectrice de l’angle $B A C$ .

La longueur $B I$ est égale à :

Q37

Alors :

Sur la figure ci-contre, $A B C$ est un triangle rectangle en $B$ et $(B H)$ est la hauteur du triangle issue de $B$ telle que :

A H = 2

et :

B H = 4

La longueur $A C$ est égale à :

Q38

Alors :

La matrice :

A

=

$1$	$- 1$	$1$
$- 1$	$1$	$- 1$
$1$	$- 1$	$1$

Q39

Alors :

Soient $A, B$ deux points du plan euclidien $R^{2}$ tels que :

A B = 150

On choisit un point $C$ tel que $A B C$ soit un triangle vérifiant :

A C = 503

et :

B = 3 0^{\circ}

On note par $a_{1}$ et $a_{2}$ les valeurs possibles du côté $B C$ . Soient $x$ et $y$ respectivement la moyenne arithmétique et géométrique de $a_{1}$ et $a_{2}$ . Alors l’expression :

(\frac{x}{3})^{2} - (\frac{y}{6})^{2}

est égale à :

Q40

Alors :

Soit $Q$ l’image du point $P (3; 1; 7)$ par la symétrie orthogonale par rapport au plan d’équation :

x - y + z = 3

L’équation du plan passant par le point $Q$ et contenant la droite d’équation :

\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}

est :

Q41

Alors :

Soit $n$ un entier tel que $n \geq 2$ . On considère :

E = R_{n} [X]

l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ .

L’application $f$ définie de $E$ dans $E$ par :

f (P) = P - P^{'}

où $P^{'}$ désigne le polynôme dérivé de $P$ .

Alors $f$ :

Q42

Alors :

Soit la matrice :

A

=

$a$	$b$
$c$	$d$

telle que :

A^{3} = 0

et :

A \neq = 0

Alors :

Q43

Alors :

Soit $E$ l’ensemble des matrices :

M

=

$a$	$b$
$c$	$d$

avec $a, b, c, d \in {0, 1}$ .

Le nombre des éléments de $E$ qui sont inversibles est égal à :

Q44

Alors :

Soit $S$ l’ensemble des matrices

A

=

$a$	$b$
$c$	$d$

telles que :

a + d = 3

et :

A^{T} = A^{2} - 3 A

où $A^{T}$ désigne la transposée de $A$ .

Alors $S$ est :

Q45

Alors :

Soit $θ \in [0, 2 π]$ . On désigne par $Δ (θ)$ le déterminant :

Δ (θ) = cos θ cos (2 θ) cos (3 θ) cos (2 θ) cos (3 θ) cos (4 θ) cos (3 θ) cos (4 θ) cos (5 θ)

Alors :

Q46

Alors :

Soit $p$ un projecteur non trivial, différent de $0$ et de l’identité, sur un espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ .

Alors le polynôme minimal de $p$ est :

Q47

Alors :

Considérons l’équation différentielle :

(E) : 2 x y^{'} - 3 y = x

L’équation $(E)$ possède sur l’intervalle fermé $[0, + \infty [$ :

Q48

Alors :

Soit $f$ une fonction sur $R$ vérifiant :

\forall (x, y) \in R^{2}, ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq ∣ x - y ∣^{\frac{3}{2}}

Alors :

Q49

Alors :

Le rayon de convergence de la série entière :

n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} x^{n}

est :

Q50

Alors :

Série 4

QCM Q1 à Q50