Démarche d’investigation

Définition

• La démarche d’investigation est une démarche d’apprentissage dans laquelle les élèves cherchent une réponse à une question ou à un problème en formulant des hypothèses, en les mettant à l’épreuve, puis en confrontant et en validant leurs résultats.
• $$\boxed{\text{Question}⟶\text{Hypotheˋses}⟶\text{Recherche}⟶\text{Validation}⟶\text{Syntheˋse}}$$
• L’élève construit activement une réponse, tandis que l’enseignant organise, accompagne et structure la recherche.

Principes essentiels

• La démarche d’investigation repose sur un problème ou une question réelle, l’expression des conceptions initiales, la formulation d’hypothèses, une recherche menée par les élèves, la confrontation des résultats, une validation fondée sur des arguments et une synthèse finale.
• Elle valorise la curiosité, la recherche, le raisonnement, la coopération, l’esprit critique et l’autorégulation.
• Elle est proche des approches constructivistes et socioconstructivistes.

Phase 1 : situation déclenchante et appropriation

• L’enseignant présente une situation permettant de faire apparaître une question.
• Les élèves doivent comprendre le contexte, identifier le problème, exprimer leurs premières représentations, formuler leurs propres questions et s’approprier la tâche.
• L’enseignant ne doit pas annoncer immédiatement la méthode : cette phase sert à concentrer l’attention et à faire émerger le questionnement.

Phase 2 : formulation des hypothèses

• Les élèves proposent des réponses provisoires ou des stratégies possibles.
• Une hypothèse est une proposition qui doit encore être vérifiée ; elle peut prendre la forme d’une conjecture, d’une relation supposée, d’une méthode de résolution ou d’une prévision.
• Exemple : après avoir observé $1=1^2$, $1+3=4=2^2$ et $1+3+5=9=3^2$, les élèves conjecturent $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$.

Phase 3 : recherche ou investigation

• Les élèves mettent leurs hypothèses à l’épreuve.
• Ils peuvent effectuer des calculs, construire une figure, expérimenter, utiliser un logiciel, produire un tableau, rechercher un contre-exemple ou élaborer une démonstration.
• Dans un travail en groupes, cette phase doit permettre un débat interne entre les membres du groupe avant la communication publique.

Phase 4 : communication et confrontation

• Chaque groupe présente son hypothèse, sa démarche, ses résultats, ses difficultés et ses arguments.
• Les propositions sont ensuite comparées afin d’identifier les accords et les désaccords, de repérer les erreurs, d’examiner plusieurs stratégies et de vérifier la solidité des arguments.
• Une réponse ne doit pas être retenue parce qu’elle est majoritaire, mais parce qu’elle est mathématiquement justifiée.

Phase 5 : validation

• La validation consiste à déterminer si les hypothèses et les résultats sont corrects.
• En mathématiques, elle peut reposer sur un calcul exact, une propriété, un raisonnement, une démonstration ou un contre-exemple.
• Observer plusieurs exemples ne suffit pas pour démontrer une propriété générale : les exemples soutiennent une conjecture, mais ne remplacent pas une justification mathématique.

Phase 6 : synthèse et structuration

• La synthèse sert à résoudre clairement le problème, expliciter les savoirs mobilisés, expliciter les savoir-faire utilisés, retenir les démarches pertinentes et formuler la connaissance générale.
• L’enseignant donne alors au savoir un statut reconnu, stable et réutilisable.
• La synthèse relie donc la résolution du problème à l’explicitation des contenus et des procédures utiles.

Exemple complet en mathématiques

• Question de départ : quelle est la somme des $n$ premiers nombres impairs ?
• Appropriation : les élèves calculent $1=1$, $1+3=4$, $1+3+5=9$, $1+3+5+7=16$.
• Hypothèse : ils conjecturent $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$.
• Recherche : ils peuvent représenter les nombres impairs comme des points ajoutés autour d’un carré ou utiliser un calcul algébrique.
• Validation : ${\sum }_{k=1}^n(2k-1)=2{\sum }_{k=1}^{n}k-n$ puis, comme ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, on obtient $2\times \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2$.
• Synthèse : $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$.

Rôle de l’enseignant

• L’enseignant choisit une situation adaptée, crée un questionnement, recueille les représentations initiales, laisse formuler des hypothèses, organise le travail, aide les groupes en difficulté sans donner la solution, favorise la confrontation, garantit la validité mathématique et organise la synthèse.
• Il ne doit être ni totalement absent ni excessivement directif.

Rôle de l’élève

• L’élève doit s’approprier le problème, proposer des hypothèses, rechercher une stratégie, utiliser les outils disponibles, expliquer sa procédure, confronter ses résultats, vérifier ses affirmations et modifier son raisonnement si nécessaire.

À ne pas confondre

• Hypothèse : réponse provisoire à vérifier.
• Conjecture : hypothèse portant sur une propriété mathématique.
• Recherche : mise à l’épreuve des hypothèses.
• Confrontation : comparaison argumentée des propositions.
• Validation : vérification de la justesse des résultats.
• Synthèse : explicitation du savoir et des démarches.
• Démonstration : justification générale d’une propriété mathématique.

Pièges du concours

• Piège 1 : donner la méthode pendant l’appropriation.
• Piège 2 : confondre hypothèse et résultat démontré.
• Piège 3 : confondre débat interne au groupe et échange entre groupes.
• Piège 4 : confondre expérimentation et démonstration.
• Piège 5 : terminer la séance sans synthèse.

À retenir

• La démarche d’investigation comprend principalement l’appropriation, les hypothèses, la recherche, l’échange, la validation et la synthèse.
• $$\boxed{\text{Appropriation}+\text{Hypotheˋses}+\text{Recherche}+\text{Eˊchange}+\text{Validation}+\text{Syntheˋse}}$$
• Elle conduit l’élève à questionner, rechercher, confronter et valider, sous la régulation de l’enseignant.

Définitions clés

• Démarche d’investigation : démarche dans laquelle les élèves construisent une réponse à partir d’un questionnement, d’hypothèses, d’une recherche, d’une validation et d’une synthèse.
• Hypothèse : réponse provisoire qui doit encore être testée ou justifiée.
• Validation : moment où l’on vérifie la justesse mathématique d’une proposition.
• Synthèse : structuration finale du savoir et des démarches mobilisées.

Exemples

Pièges fréquents

• Donner trop tôt la méthode et empêcher ainsi l’appropriation réelle du problème.
• Traiter une hypothèse comme si elle était déjà démontrée.
• Croire qu’un accord majoritaire suffit à valider une réponse.
• Confondre expérimentation, vérification locale et démonstration générale.