Outils didactiques spécifiques aux mathématiques

Définition

• Un outil didactique spécifique aux mathématiques est un instrument matériel ou numérique utilisé pour représenter, explorer, calculer, construire ou vérifier des objets mathématiques.
• Il peut permettre à l’élève de manipuler, construire une figure, effectuer un calcul, représenter des données, explorer une propriété, formuler une conjecture ou contrôler un résultat.
• La valeur didactique d’un outil dépend de l’activité mathématique qu’il permet de réaliser.

Les instruments de géométrie

• Les principaux instruments sont la règle, le compas, l’équerre, le rapporteur, le papier quadrillé et le papier calque.
• Ils permettent notamment de tracer des figures, mesurer des longueurs et des angles, construire des perpendiculaires et des parallèles, reporter une longueur et vérifier certaines propriétés.
• Pour construire la médiatrice du segment $[AB]$, l’élève utilise le compas pour tracer deux arcs de même rayon centrés en $A$ et en $B$.
• La construction permet ensuite d’établir que tout point $M$ de la médiatrice vérifie $MA=MB$.

Le matériel manipulable

• Il comprend notamment les bandes de fractions, les jetons, les cubes, les solides géométriques, le tangram, les balances, les pavages et les modèles d’aires.
• Pour représenter $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$, les bandes de fractions permettent d’observer que $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, donc $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
• La manipulation doit toutefois conduire progressivement à une formulation mathématique.

La calculatrice

• La calculatrice permet d’effectuer des calculs, vérifier un résultat, explorer des suites numériques, obtenir des valeurs approchées et étudier des fonctions, selon le modèle utilisé.
• L’élève peut comparer $8\times 2=16$ et $8\times 0,5=4$ afin de remettre en question l’idée que toute multiplication agrandit un nombre.
• La calculatrice ne doit pas remplacer la compréhension, le calcul mental, le raisonnement ni la justification.

GeoGebra

• GeoGebra est un logiciel de mathématiques dynamiques particulièrement adapté à la géométrie, à l’algèbre, à l’étude des fonctions, aux statistiques et aux représentations graphiques.
• Il permet de construire une figure, déplacer des points, modifier des paramètres, observer des invariants, formuler des conjectures et relier plusieurs représentations.
• Pour la fonction $f(x)=ax+b$, des curseurs permettent de modifier $a$ et $b$.
• L’élève peut conjecturer que a détermine la pente de la droite et b son ordonnée à l’origine. L’observation doit ensuite être expliquée et institutionnalisée.

Le tableur

• Un tableur comme Excel ou Google Sheets permet d’organiser des données, effectuer automatiquement des calculs, utiliser des formules, construire des tableaux, produire des graphiques, étudier des suites et traiter des données statistiques.
• Pour étudier la fonction $f(x)=2x+1$, l’élève saisit des valeurs de $x$, puis utilise une formule pour calculer $f(x)$.
• Il peut ensuite construire le graphique correspondant.
• $$\text{formule}⟷\text{tableau}⟷\text{graphique}.$$

Les logiciels de calcul formel

• Un logiciel de calcul formel peut développer, factoriser, résoudre certaines équations, calculer des dérivées et simplifier des expressions.
• Exemple : il peut factoriser $x^2+x-6$ sous la forme $(x-2)(x+3)$.
• Mais l’élève doit être capable d’interpréter le résultat, d’en vérifier la validité et d’expliquer la méthode lorsque celle-ci est attendue.

Les logiciels statistiques

• Des outils comme un tableur ou un logiciel spécialisé tel que SPSS peuvent servir à organiser un ensemble de données, calculer des indicateurs, construire des graphiques, étudier une distribution et comparer des séries statistiques.
• Au niveau scolaire, le tableur est généralement suffisant pour travailler la moyenne, la médiane, les fréquences, la variance et les graphiques.

Le tableau et les outils de présentation

• Le tableau permet de présenter une figure, organiser les données, afficher plusieurs procédures, comparer des solutions et construire une synthèse.
• Dans une résolution de problème, il est particulièrement utile pour faciliter le débat et la comparaison des démarches.
• PowerPoint ou un vidéoprojecteur permettent de présenter des figures, des animations, des tableaux, des étapes d’une construction et un contenu collectif.
• PowerPoint est un outil général de présentation, et non un outil mathématique spécifique.

Critères de choix

• L’enseignant choisit un outil selon le savoir visé, l’activité attendue, le niveau des élèves, la simplicité d’utilisation, la précision nécessaire, les ressources disponibles et la possibilité de raisonner et de vérifier.
• Pour construire une conjecture géométrique, GeoGebra peut être pertinent. Pour apprendre une construction exacte à la règle et au compas, l’utilisation des instruments matériels reste nécessaire.

À ne pas confondre

• Compas, règle, équerre : constructions géométriques.
• Calculatrice : calcul et vérification.
• GeoGebra : géométrie dynamique et représentations.
• Tableur : calcul automatisé, tableaux, graphiques et statistiques.
• Logiciel de calcul formel : traitement symbolique des expressions.
• SPSS : analyse statistique de données.
• PowerPoint : présentation d’un contenu.
• Tableau : communication et comparaison des procédures.

Pièges du concours

• Piège 1 : confondre outil de présentation et outil mathématique spécifique.
• Piège 2 : croire que l’outil produit automatiquement l’apprentissage.
• Piège 3 : remplacer la preuve par la seule observation.
• Piège 4 : choisir l’outil avant l’objectif d’apprentissage.

À retenir

• $$\boxed{\text{Construire}+\text{Calculer}+\text{Repreˊsenter}+\text{Explorer}+\text{Veˊrifier}}$$
• Un outil est didactiquement pertinent lorsqu’il soutient une activité mathématique précise et contribue à la compréhension du savoir.

Définitions clés

• Outil didactique spécifique aux mathématiques : instrument matériel ou numérique mobilisé pour une activité mathématique déterminée.
• Instrument de géométrie : outil permettant la construction, la mesure et la vérification de propriétés géométriques.
• GeoGebra : logiciel de mathématiques dynamiques adapté à la construction, à l’exploration et à la liaison entre plusieurs représentations.
• Tableur : outil de calcul automatisé, de gestion de données et de représentation graphique.
• Logiciel de calcul formel : outil de traitement symbolique d’expressions et d’équations.

Exemples

Pièges fréquents

• Confondre un outil de présentation avec un outil d’exploration mathématique.
• Penser que l’outil, à lui seul, garantit la compréhension.
• Remplacer la démonstration par une simple observation dynamique.
• Choisir un outil pour son prestige technologique plutôt que pour sa pertinence didactique.